Um artista de rua está realizando uma performance acrobática em um parque, fazendo uma bola descrever uma trajetória vertical em função do tempo. A trajetória da bola é dada pela equação:
, onde
está em metros e
em segundos. (a) A posição da bola nos instantes
e
; (b) A velocidade da bola no instante
; © A aceleração da bola no instante
; (d) Após a performance, o artista deseja saber a altura máxima que a bola alcança. Determine essa altura. (e) A partir de que instante a bola começa a descer?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a trajetória vertical de uma bola que está sendo lançada e depois volta. A equação que descreve essa trajetória é $ x(t) = 5t - 0,5t^2 $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Para resolver as partes (a) a (e) desse exercício, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com as causas desse movimento.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a posição da bola nos instantes $ t_1 = 0 $ s e $ t_2 = 2 $ s.
Para isso, basta substituir esses valores de $ t $ na equação da trajetória.
Passo 3
Vamos começar com $ t_1 = 0 $ s:
Então, no instante inicial $ t = 0 $ s, a bola está no chão (posição 0 metros).
Passo 4
Agora, com $ t_2 = 2 $ s:
Portanto, após 2 segundos, a bola está a 8 metros de altura.
Passo 5
Parte (b): Queremos saber a velocidade da bola no instante $ t = 2,2 $ s.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $.
A equação da posição é:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 6
Agora, substituímos $ t = 2,2 $ s na equação da velocidade:
Então, a velocidade da bola no instante de 2,2 segundos é de 2,8 metros por segundo para cima.
Passo 7
Parte ©: Vamos encontrar a aceleração da bola no instante $ t = 2,2 $ s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Já que encontramos $ v(t) = 5 - t $, vamos derivar novamente para encontrar $ a(t) $:
Passo 8
A aceleração é constante e igual a $ -1 , m/s^2 $. Isso significa que a bola está sofrendo uma aceleração para baixo (como a gravidade) de 1 metro por segundo ao quadrado no instante de 2,2 segundos.
Passo 9
Parte (d): Precisamos determinar a altura máxima que a bola alcança.
A altura máxima ocorre quando a velocidade da bola é zero. Já temos a equação da velocidade:
Vamos encontrar o tempo $ t $ quando $ v(t) = 0 $:
Passo 10
Agora, substituímos $ t = 5 $ s na equação da posição para encontrar a altura máxima:
Portanto, a altura máxima que a bola alcança é de 12,5 metros.
Passo 11
Parte (e): Queremos saber a partir de que instante a bola começa a descer.
A bola começa a descer quando atinge a altura máxima, ou seja, quando a velocidade passa de positiva para negativa. Já vimos que isso acontece em $ t = 5 $ s.
Resposta
Resumindo:
a) A posição da bola é 0 metros em $ t = 0 $ s e 8 metros em $ t = 2 $ s.
b) A velocidade da bola em $ t = 2,2 $ s é de 2,8 m/s para cima.
c) A aceleração da bola em $ t = 2,2 $ s é de $ -1 , m/s^2 $.
d) A altura máxima que a bola alcança é de 12,5 metros.
e) A bola começa a descer a partir de $ t = 5 $ segundos.