Uma barra de aço possui 5,00 cm de diâmetro quando T=25^circ C. Um anel feito de latão possui um diâmetro interno de 4,98 cm também nesta temperatura. Considerando equilíbrio térmico entre os dois materiais, em qual temperatura haverá um ajuste perfeito entre estas peças?
Dado: alpha aço =11.10^-6 ^circ C^-1 ; alpha latão =19 cdot 10^-6 ^circ C^-1çã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra de aço e um anel de latão que estão em equilíbrio térmico inicialmente a 25°C. Queremos descobrir a qual temperatura eles irão se ajustar perfeitamente, ou seja, quando o diâmetro da barra de aço igualar o diâmetro interno do anel de latão. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como os materiais expandem ou contraem com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o que a gente tem:
  • Diâmetro da barra de aço em 25°C: ç
  • Diâmetro interno do anel de latão em 25°C: ã
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: ç
  • Coeficiente de dilatação linear do latão: ã
A temperatura inicial é e vamos chamar a temperatura desejada de .

Passo 3

A dilatação linear é dada pela fórmula:
De
onde:
  • Daço(T) = Daço + Daço cdot alphaaço cdot (T - T0) é a variação do comprimento (nesse caso, diâmetro),
  • Dlatão(T) = Dlatão + Dlatão cdot alphalatão cdot (T - T0) é o comprimento inicial,
  • 5,00 , cm + 5,00 , cm cdot 11 times 10^-6 cdot (T - 25) = 4,98 , cm + 4,98 , cm cdot 19 times 10^-6 cdot (T - 25) é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.
Queremos que o diâmetro da barra de aço aumente e o diâmetro interno do anel de latão diminua até se igualarem. Então, temos:
çççç
ãããã
Como queremos que çã, igualamos as duas expressões:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
5,00 + 5,00 cdot 11 times 10^-6 cdot (T - 25) = 4,98 + 4,98 cdot 19 times 10^-6 cdot (T - 25)
Primeiro, subtraímos 4,98 de ambos os lados:
0,02 + 5,00 cdot 11 times 10^-6 cdot (T - 25) = 4,98 cdot 19 times 10^-6 cdot (T - 25)
Agora, vamos calcular os coeficientes multiplicando:
0,02 + 5,00 cdot 11 times 10^-6 cdot De
0,02 + 55 times 10^-6 cdot De
Subtraímos 0,02 = (94,62 times 10^-6 - 55 times 10^-6) cdot De de ambos os lados:
0,02 = 39,62 times 10^-6 cdot De
De
Agora, isolamos :

Passo 5

Finalmente, somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:
T = T0 + De

Resposta

A temperatura para o ajuste perfeito entre as peças é aproximadamente .

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