Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica de um material é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que o coeficiente de dilatação volumétrica (β) de um material é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear (α). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação linear e volumétrica, que explicam como os materiais expandem ou contraem com a variação de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação linear (α). Esse coeficiente mede quanto um material alonga ou encurta por unidade de comprimento quando a temperatura muda. Por exemplo, se um metal esquenta, ele se expande, e α nos dá uma ideia de quanto isso acontece por grau de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o coeficiente de dilatação volumétrica (β). Esse coeficiente mede quanto o volume de um material muda com a variação de temperatura. Diferente da dilatação linear, que considera uma dimensão, a volumétrica considera todas as três dimensões (comprimento, largura e altura).

Passo 4

Vamos supor que temos um material com lados iniciais de comprimento V = L times L times L = L^3 . Assim, o volume inicial desse material é:

Passo 5

Quando a temperatura muda, cada lado do material se expande de acordo com o coeficiente de dilatação linear α. Então, o novo comprimento de cada lado será:
L' = L (1 + alpha De
onde é a variação de temperatura.

Passo 6

Com os novos comprimentos, o novo volume V' = L' times L' times L' = [L (1 + alpha De será:

Passo 7

Como (1 + alpha De é pequeno, podemos simplificar a expressão usando a aproximação do binômio de Newton:
V' approx L^3 (1 + 3alpha De
Portanto:

Passo 8

A dilatação volumétrica é definida por:
De
Comparando com a expressão que obtivemos:
1 + 3alpha De
Conclusão disso é que:
beta approx 3alpha

Resposta

O coeficiente de dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear, ou seja, .

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