Uma barra de cobre de 120 mm de comprimento com 5 mm de diâmetro, se estende horizontalmente de um molde de fundição a . A barra está no ar ambiente com e . Qual é a temperatura da barra a e a 100 mm partir do molde.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra de cobre com certas dimensões e propriedades térmicas. A barra está sendo aquecida em uma extremidade a , enquanto a outra extremidade está no ar ambiente a . A barra está transpondo calor para o ambiente através de convecção. Precisamos encontrar a temperatura da barra em pontos específicos (20 mm, 60 mm, 80 mm e 100 mm) a partir do molde. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e convecção, aplicando a lei de Fourier para condução e a lei de resfriamento de Newton para convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as propriedades da barra e as condições dadas:
Condutividade térmica da barra de cobre:
Comprimento total da barra:
Diâmetro da barra:
Temperatura na extremidade aquecida:
Temperatura ambiente:
Coeficiente de convecção:
Passo 3
Para encontrar a temperatura em diferentes pontos da barra, usamos a equação de condução de calor em regime permanente para uma barra com perda de calor por convecção. A solução geral dessa equação é:
onde Lc é o comprimento de condução, dado por:
Lc = raizKh cdot pi (d2)^2
Passo 4
Vamos calcular o comprimento de condução Lc. Primeiro, calculamos a área da seção transversal da barra:
A = pi (d2)^2 = pi (0,0052)^2 = pi times 6,25 times 10^-5 , m^2 approx 1,9635 times 10^-4 , m^2
Agora, calculamos Lc:
Lc = raizKh cdot A = raiz37950 times 1,9635 times 10^-4 approx raiz3790,0098175 approx raiz38651,5 approx 196,6 , m
Passo 5
Observamos que Lc é muito maior que o comprimento da barra (0,12 , m). Isso indica que a condução de calor na barra é predominante e a perda por convecção é relativamente pequena. Assim, podemos simplificar a equação de temperatura para:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) (1 - xL)
Passo 6
Aplicando a equação simplificada, calculamos a temperatura em cada ponto: