Uma barra de cobre (K=379 W / m K) de 120 mm de comprimento com 5 mm de diâmetro, se estende horizontalmente de um molde de fundição a 300^circ C. A barra está no ar ambiente com Tinfty =30^circ C e h=50 W / m^2 K. Qual é a temperatura da barra a 20 mm, 60 mm, 80 mm e a 100 mm partir do molde.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra de cobre com certas dimensões e propriedades térmicas. A barra está sendo aquecida em uma extremidade a 300^circC, enquanto a outra extremidade está no ar ambiente a 30^circC. A barra está transpondo calor para o ambiente através de convecção. Precisamos encontrar a temperatura da barra em pontos específicos (20 mm, 60 mm, 80 mm e 100 mm) a partir do molde. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e convecção, aplicando a lei de Fourier para condução e a lei de resfriamento de Newton para convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as propriedades da barra e as condições dadas:
  • Condutividade térmica da barra de cobre: K = 379 , W/m cdot K
  • Comprimento total da barra: L = 120 , mm = 0,12 , m
  • Diâmetro da barra: d = 5 , mm = 0,005 , m
  • Temperatura na extremidade aquecida: T0 = 300^circC
  • Temperatura ambiente: Tinfty = 30^circC
  • Coeficiente de convecção: h = 50 , W/m^2 cdot K

Passo 3

Para encontrar a temperatura em diferentes pontos da barra, usamos a equação de condução de calor em regime permanente para uma barra com perda de calor por convecção. A solução geral dessa equação é:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) (1 - cosh(xLc)cosh(LLc))
onde Lc é o comprimento de condução, dado por:
Lc = raizKh cdot pi (d2)^2

Passo 4

Vamos calcular o comprimento de condução Lc. Primeiro, calculamos a área da seção transversal da barra:
A = pi (d2)^2 = pi (0,0052)^2 = pi times 6,25 times 10^-5 , m^2 approx 1,9635 times 10^-4 , m^2
Agora, calculamos Lc:
Lc = raizKh cdot A = raiz37950 times 1,9635 times 10^-4 approx raiz3790,0098175 approx raiz38651,5 approx 196,6 , m

Passo 5

Observamos que Lc é muito maior que o comprimento da barra ( 0,12 , m). Isso indica que a condução de calor na barra é predominante e a perda por convecção é relativamente pequena. Assim, podemos simplificar a equação de temperatura para:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) (1 - xL)

Passo 6

Aplicando a equação simplificada, calculamos a temperatura em cada ponto:
Para x = 20 , mm = 0,02 , m:
T(0,02) = 30 + (300 - 30) (1 - 0,020,12) = 30 + 270 (1 - 0,1667) = 30 + 270 times 0,8333 approx 30 + 225 = 255^circC

Passo 7

Para x = 60 , mm = 0,06 , m:
T(0,06) = 30 + 270 (1 - 0,060,12) = 30 + 270 times 0,5 = 30 + 135 = 165^circC

Passo 8

Para x = 80 , mm = 0,08 , m:
T(0,08) = 30 + 270 (1 - 0,080,12) = 30 + 270 times 0,3333 approx 30 + 90 = 120^circC

Passo 9

Para x = 100 , mm = 0,10 , m:
T(0,10) = 30 + 270 (1 - 0,100,12) = 30 + 270 times 0,1667 approx 30 + 45 = 75^circC

Resposta

As temperaturas da barra a 20 mm, 60 mm, 80 mm e 100 mm a partir do molde são, respectivamente:
  • 255 °C
  • 165 °C
  • 120 °C
  • 75 °C

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