Uma esfera de aço (k=17 W / mK) tem diâmetro interno de 1,0 m com espessura de 10,0 mm, é usada como reator químico. A superfície do reator é resfriada por ar com temperatura de 25^circ C e coeficiente de transferência de calor de 6 W / m^2 K, pede-se:
Utilizando a taxa de geração de energia calculado no iten b, e supondo que uma camada de 0,0 mm de espessura de fibra de vidro ( K=0,040 W / mK ) seja usada para isolar o reator, qual deverá ser a temperatura da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera de aço usada como reator químico. A esfera tem um diâmetro interno de 1,0 m e uma espessura de 10,0 mm. A superfície do reator é resfriada por ar a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor de 6 W/m²K. Além disso, temos uma camada de fibra de vidro para isolar o reator, com condutividade térmica de 0,040 W/mK. O conteúdo principal aqui é transferência de calor, especialmente condução e convecção térmica. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor para esferas e de convecção para encontrar a temperatura na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da esfera. O diâmetro interno é de 1,0 m, então o raio interno $ r_i $ é metade disso:
ri
A espessura da esfera é de 10,0 mm, que em metros é 0,010 m. Assim, o raio externo $ r_a $ da esfera de aço é:
ri = 1,0 , m2 = 0,5 , m

Passo 3

Agora, vamos considerar a transferência de calor. Temos duas camadas através das quais o calor é transferido:
  1. Condução através da esfera de aço.
  2. Convecção na superfície do reator.
Como também há isolamento com fibra de vidro, mas a espessura é de 0,0 mm, isso significa que a camada de isolamento não adiciona resistência térmica significativa. Portanto, vamos focar na condução pela esfera de aço e na convecção na superfície.

Passo 4

A taxa de geração de energia no reator, que chamaremos de $ Q $, precisa ser igual à taxa de perda de calor pela condução e convecção. A equação geral para o equilíbrio térmico é:
Q
Onde:
  • $ Q_{cond} $ é o calor conduzido através da esfera.
  • $ Q_{conv} $ é o calor transferido por convecção na superfície.

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Condução através da esfera de aço:
A fórmula para condução de calor em uma esfera é:
Qcond = 4 pi ka (Ti - Ta)1ri - 1ra
Onde:
  • $ k_a = 17 , W/mK $ é a condutividade térmica do aço.
  • $ T_i $ é a temperatura interna do reator.
  • $ T_a $ é a temperatura na superfície da esfera.
Convecção na superfície:
A fórmula para convecção é:
ka = 17 , W/mK
Onde:
  • $ h = 6 , W/m²K $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • $ A = 4 \pi r_a^2 $ é a área da superfície.
  • $ T_{\infty} = 25°C $ é a temperatura do ar ambiente.

Passo 6

Assumindo que a taxa de geração de energia $ Q $ já foi calculada no item b e é conhecida, podemos igualar as duas expressões:
Q
Queremos encontrar $ T_a $, a temperatura da superfície. Para isso, reorganizamos a equação para resolver $ T_a $:
Q = 4 pi ka (Ti - Ta)1ri - 1ra + h cdot 4 pi ra^2 cdot (Ta - Tinfty)
Isolando $ T_a $:
Ta
Reagrupando os termos com $ T_a $:
Ta
Fatorando $ T_a $:
Q = 4 pi ( ka (Ti - Ta)1ri - 1ra + h ra^2 (Ta - Tinfty) )
Finalmente, resolvemos para $ T_a $:
Ta

Resposta

A temperatura da superfície do reator é dada por:
Ta = ka Ti1ri - 1ra - h ra^2 Tinfty - Q4 pika1ri - 1ra - h ra^2
Substituindo os valores conhecidos:
  • $ k_a = 17 , W/mK $
  • $ r_i = 0,5 , m $
  • $ r_a = 0,510 , m $
  • $ h = 6 , W/m²K $
  • $ T_{\infty} = 25°C $
  • $ Q $ foi calculado no item b
Após realizar os cálculos com os valores específicos de $ Q $ e $ T_i $, obtemos a temperatura da superfície $ T_a $.

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