Uma esfera de aço
tem diâmetro interno de
com espessura de
, é usada como reator químico. A superfície do reator é resfriada por ar com temperatura de
e coeficiente de transferência de calor de
, pede-se:
Utilizando a taxa de geração de energia calculado no iten b, e supondo que uma camada de
de espessura de fibra de vidro (
) seja usada para isolar o reator, qual deverá ser a temperatura da superfície.
Utilizando a taxa de geração de energia calculado no iten b, e supondo que uma camada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera de aço usada como reator químico. A esfera tem um diâmetro interno de 1,0 m e uma espessura de 10,0 mm. A superfície do reator é resfriada por ar a 25°C, com um coeficiente de transferência de calor de 6 W/m²K. Além disso, temos uma camada de fibra de vidro para isolar o reator, com condutividade térmica de 0,040 W/mK. O conteúdo principal aqui é transferência de calor, especialmente condução e convecção térmica. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor para esferas e de convecção para encontrar a temperatura na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões da esfera. O diâmetro interno é de 1,0 m, então o raio interno $ r_i $ é metade disso:
A espessura da esfera é de 10,0 mm, que em metros é 0,010 m. Assim, o raio externo $ r_a $ da esfera de aço é:
Passo 3
Agora, vamos considerar a transferência de calor. Temos duas camadas através das quais o calor é transferido:
- Condução através da esfera de aço.
- Convecção na superfície do reator.
Como também há isolamento com fibra de vidro, mas a espessura é de 0,0 mm, isso significa que a camada de isolamento não adiciona resistência térmica significativa. Portanto, vamos focar na condução pela esfera de aço e na convecção na superfície.
Passo 4
A taxa de geração de energia no reator, que chamaremos de $ Q $, precisa ser igual à taxa de perda de calor pela condução e convecção. A equação geral para o equilíbrio térmico é:
Onde:
- $ Q_{cond} $ é o calor conduzido através da esfera.
- $ Q_{conv} $ é o calor transferido por convecção na superfície.
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente.
Condução através da esfera de aço:
A fórmula para condução de calor em uma esfera é:
Onde:
- $ k_a = 17 , W/mK $ é a condutividade térmica do aço.
- $ T_i $ é a temperatura interna do reator.
- $ T_a $ é a temperatura na superfície da esfera.
Convecção na superfície:
A fórmula para convecção é:
Onde:
- $ h = 6 , W/m²K $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
- $ A = 4 \pi r_a^2 $ é a área da superfície.
- $ T_{\infty} = 25°C $ é a temperatura do ar ambiente.
Passo 6
Assumindo que a taxa de geração de energia $ Q $ já foi calculada no item b e é conhecida, podemos igualar as duas expressões:
Queremos encontrar $ T_a $, a temperatura da superfície. Para isso, reorganizamos a equação para resolver $ T_a $:
Isolando $ T_a $:
Reagrupando os termos com $ T_a $:
Fatorando $ T_a $:
Finalmente, resolvemos para $ T_a $:
Resposta
A temperatura da superfície do reator é dada por:
Substituindo os valores conhecidos:
- $ k_a = 17 , W/mK $
- $ r_i = 0,5 , m $
- $ r_a = 0,510 , m $
- $ h = 6 , W/m²K $
- $ T_{\infty} = 25°C $
- $ Q $ foi calculado no item b
Após realizar os cálculos com os valores específicos de $ Q $ e $ T_i $, obtemos a temperatura da superfície $ T_a $.