Uma barra de latão de seção circular de diâmetro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kN .
Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do material o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) de 1,08 times 10^4 kN / cm^2 e o seu coeficiente de Poisson nu=0,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma barra de latão com seção circular que está sendo puxada por uma força axial. Precisamos descobrir quanto o diâmetro dela diminui devido a essa força. Para isso, vamos usar conceitos de Módulo de Elasticidade (ou Módulo de Young) e Coeficiente de Poisson. Vamos precisar das seguintes informações:
  • Diâmetro inicial da barra: 3 cm
  • Força axial aplicada: 50 kN
  • Módulo de Elasticidade $ E = 1,08 \times 10^{4} , \mathrm{kN/cm^{2}} $
  • Coeficiente de Poisson $ \nu = 0,3 $

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão axial na barra, que é a força aplicada dividida pela área da seção transversal. A fórmula para a tensão axial ($ \sigma $) é:
sigma
Onde:
  • $ F $ é a força aplicada (50 kN)
  • $ A $ é a área da seção transversal
Como a seção é circular, a área $ A $ é:
sigma = FA
Substituindo o diâmetro $ d = 3 , cm $:
F
Então, a tensão axial fica:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular a deformação axial ($ \varepsilon $) usando o Módulo de Elasticidade. A relação entre tensão e deformação é dada por:
varepsilon
Rearranjando para encontrar a deformação:
sigma = E times varepsilon
Substituindo os valores:
varepsilon = sigmaE

Passo 4

O Coeficiente de Poisson ($ \nu $) relaciona a deformação axial com a deformação lateral. A fórmula é:
nu
Vamos reorganizar para encontrar a deformação lateral ($ \varepsilon_{lateral} $):
nu = -varepsilonlateralvarepsilonaxial
Substituindo os valores:
varepsilonlateral
O sinal negativo indica que a deformação lateral é uma contração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação do diâmetro ($ \Delta d $) usando a deformação lateral. A deformação é definida como:
De
Rearranjando para encontrar $ \Delta d $:
varepsilonlateral = De
Substituindo os valores:
De

Resposta

A diminuição do diâmetro da barra de latão é de aproximadamente 0,000588 cm.

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