Uma barra de metal com A mm de comprimento e que possui uma seção transversal circular com B mm de diâmetro é tracionada com uma carga de C N e apresenta um alongamento D mm. Assumindo que a deformação seja inteiramente elástica, calcule o módulo de elasticidade do metal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de metal que tem comprimento $ A $ mm e diâmetro da seção transversal $ B $ mm. Ela é puxada com uma força de $ C $ N e se alonga $ D $ mm. Nosso objetivo aqui é calcular o módulo de elasticidade desse metal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensão, deformação e como elas se relacionam para achar o módulo de elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra. Como a seção é circular, a área $ A_s $ pode ser calculada usando a fórmula da área do círculo:
As
Isso nos dá a área em termos do diâmetro $ B $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão ($ \sigma $) na barra. Tensão é basicamente a força aplicada dividida pela área da seção transversal:
sigma
Então, a tensão na barra é $ \frac{4C}{\pi B^2} $ N/mm².

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a deformação ($ \varepsilon $) da barra. Deformação é o alongamento dividido pelo comprimento original:
varepsilon
Aqui, $ D $ é o alongamento em mm e $ A $ é o comprimento original em mm.

Passo 5

Com a tensão e a deformação calculadas, podemos agora encontrar o módulo de elasticidade ($ E $). A relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade é dada por:
E
Substituindo os valores que encontramos:
E = sigmavarepsilon
Então, o módulo de elasticidade do metal é $ \frac{4C A}{\pi B^2 D} $.

Resposta

O módulo de elasticidade do metal é $ E = \frac{4C A}{\pi B^2 D} $ N/mm².

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