Uma barra de sabão (massa m ) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante t=0, começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular omega, de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma ddotx-omega^2=-g sin omega t, onde x é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para x(t), sabendo que x(0)=x0. [Você precisará se valer do método usado para resolver a equação das oscilações amortecidas forçadas. Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente x=A sen omega t e resolva para A.]

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido: Temos uma barra de sabão com massa em repouso sobre uma placa retangular sem atrito. No instante , começamos a levantar uma das arestas da placa com velocidade angular , fazendo com que a barra de sabão deslize em direção à aresta que está descendo. Precisamos mostrar que a equação do movimento da barra é e, depois, resolver essa equação para encontrar , sabendo que .
Conteúdo: Vamos usar conceitos de movimento harmônico forçado e equações diferenciais. Precisaremos entender como montar a equação do movimento considerando as forças atuantes e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Vamos analisar as forças que atuam na barra de sabão. Como a placa está sem atrito, a única força horizontal que influencia o movimento da barra é a componente do peso que não está sendo contrabalançada pela aceleração da placa.
Quando levantamos uma das arestas da placa com velocidade angular , estamos basicamente girando a placa em torno de um eixo. Isso cria uma aceleração centrípeta que afeta a barra de sabão.
A posição da barra em função do tempo é dada por , e a aceleração da barra é a segunda derivada de em relação ao tempo, .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento. A força resultante que atua na barra é a soma das forças devido à aceleração da placa e à componente do peso. Aplicando a segunda lei de Newton:
mddotx = momega^2x - mgsin(omega t)
Dividindo ambos os lados por ddotx = omega^2x - gsin(omega t) :
ddotx - omega^2x = -gsin(omega t)
Rearranjando os termos, obtemos:
ddotx - omega^2x = -gsin(omega t)
Portanto, chegamos à equação diferencial dada no enunciado:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
ddotx - omega^2x = -gsin(omega t)
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, e podemos resolvê-la encontrando a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
ddotx - omega^2x = 0
A equação característica é:
r^2 - omega^2 = 0
As raízes são xh(t) = C1e^omega t + C2e^-omega t e , então a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular ddotx - omega^2x = -gsin(omega t) para a equação completa:
xp(t) = Asin(omega t)
Vamos tentar uma solução da forma:
dotxp(t) = Aomegacos(omega t)
Onde ddotxp(t) = -Aomega^2sin(omega t) é uma constante que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
-Aomega^2sin(omega t) - omega^2Asin(omega t) = -gsin(omega t)
-2Aomega^2sin(omega t) = -gsin(omega t)
Substituindo na equação diferencial:
2Aomega^2 = g
A = g2omega^2
Dividindo ambos os lados por xp(t) = g2omega^2sin(omega t) :
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t)
x(t) = C1e^omega t + C2e^-omega t + g2omega^2sin(omega t)
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes x(0) = C1 + C2 + 0 = x0 e C1 + C2 = x0 .
Sabemos que dotx(t) = C1omega e^omega t - C2omega e^-omega t + g2omegacos(omega t) . Substituindo dotx(0) = C1omega - C2omega + g2omega = 0 :
C1 - C2 = -g2omega^2
2C1 = x0 - g2omega^2
Além disso, para determinar outra condição, precisamos da velocidade inicial C1 = x02 - g4omega^2 . Como a barra está inicialmente em repouso, 2C2 = x0 + g2omega^2 .
Calculando C2 = x02 + g4omega^2 :
Aplicando :
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Resposta

A posição da barra de sabão em função do tempo é:
x(t) = ( x02 - g4omega^2 )e^omega t + ( x02 + g4omega^2 )e^-omega t + g2omega^2sin(omega t)

Exercícios relacionados