Uma barra de sabão (massa ) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante , começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular , de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma , onde é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para , sabendo que . [Você precisará se valer do método usado para resolver a equação das oscilações amortecidas forçadas. Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente sen e resolva para A.]

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido: Temos uma barra de sabão com massa em repouso sobre uma placa retangular sem atrito. No instante , começamos a levantar uma das arestas da placa com velocidade angular , fazendo com que a barra de sabão deslize em direção à aresta que está descendo. Precisamos mostrar que a equação do movimento da barra é e, depois, resolver essa equação para encontrar , sabendo que .
Conteúdo: Vamos usar conceitos de movimento harmônico forçado e equações diferenciais. Precisaremos entender como montar a equação do movimento considerando as forças atuantes e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Vamos analisar as forças que atuam na barra de sabão. Como a placa está sem atrito, a única força horizontal que influencia o movimento da barra é a componente do peso que não está sendo contrabalançada pela aceleração da placa.
Quando levantamos uma das arestas da placa com velocidade angular , estamos basicamente girando a placa em torno de um eixo. Isso cria uma aceleração centrípeta que afeta a barra de sabão.
A posição da barra em função do tempo é dada por , e a aceleração da barra é a segunda derivada de em relação ao tempo, .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento. A força resultante que atua na barra é a soma das forças devido à aceleração da placa e à componente do peso. Aplicando a segunda lei de Newton:
Dividindo ambos os lados por :
Rearranjando os termos, obtemos:
Portanto, chegamos à equação diferencial dada no enunciado:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, e podemos resolvê-la encontrando a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica é:
As raízes são e , então a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa:
Vamos tentar uma solução da forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Sabemos que . Substituindo :
Além disso, para determinar outra condição, precisamos da velocidade inicial . Como a barra está inicialmente em repouso, .
Calculando :
Aplicando :
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Resposta

A posição da barra de sabão em função do tempo é:

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