Uma barra de sabão (massa
) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante
, começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular
, de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma
, onde
é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para
, sabendo que
. [Você precisará se valer do método usado para resolver a equação das oscilações amortecidas forçadas. Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente
sen
e resolva para A.]
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido: Temos uma barra de sabão com massa
em repouso sobre uma placa retangular sem atrito. No instante
, começamos a levantar uma das arestas da placa com velocidade angular
, fazendo com que a barra de sabão deslize em direção à aresta que está descendo. Precisamos mostrar que a equação do movimento da barra é
e, depois, resolver essa equação para encontrar
, sabendo que
.
Conteúdo: Vamos usar conceitos de movimento harmônico forçado e equações diferenciais. Precisaremos entender como montar a equação do movimento considerando as forças atuantes e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Vamos analisar as forças que atuam na barra de sabão. Como a placa está sem atrito, a única força horizontal que influencia o movimento da barra é a componente do peso que não está sendo contrabalançada pela aceleração da placa.
Quando levantamos uma das arestas da placa com velocidade angular
, estamos basicamente girando a placa em torno de um eixo. Isso cria uma aceleração centrípeta que afeta a barra de sabão.
A posição da barra em função do tempo é dada por
, e a aceleração da barra é a segunda derivada de
em relação ao tempo,
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento. A força resultante que atua na barra é a soma das forças devido à aceleração da placa e à componente do peso. Aplicando a segunda lei de Newton:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando os termos, obtemos:
Portanto, chegamos à equação diferencial dada no enunciado:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, e podemos resolvê-la encontrando a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica é:
As raízes são
e
, então a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa:
Vamos tentar uma solução da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Sabemos que
. Substituindo
:
Além disso, para determinar outra condição, precisamos da velocidade inicial
. Como a barra está inicialmente em repouso,
.
Calculando
:
Aplicando
:
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Resposta
A posição da barra de sabão em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Quais as duas formas fundamentais de energia?
Duas massas
e
se movem em um plano e interagem por uma energia potencial
. Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas
e
e determine as equações de movimento para as coordenadas
e
. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.
Qual a diferença entre forças conservativas e dissipativas?
Cite três características relacionadas a energia.