Duas massas
e
se movem em um plano e interagem por uma energia potencial
. Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas
e
e determine as equações de movimento para as coordenadas
e
. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.
Passo 1
Então, temos um exercício de mecânica clássica onde duas massas,
e
, estão se movendo em um plano e interagem através de uma energia potencial dada por
. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando as coordenadas do centro de massa (
) e as coordenadas relativas (
). Depois, vamos derivar as equações de movimento para as coordenadas
(do centro de massa) e
(relativas), descrever o movimento e determinar a frequência do movimento relativo. Para isso, precisamos entender conceitos como coordenadas de centro de massa, coordenadas relativas, Lagrangiana e equações de Euler-Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa e as coordenadas relativas. O centro de massa
é dado por:
E a coordenação relativa
é:
Isso nos ajuda a separar o movimento do sistema em movimento do centro de massa e movimento relativo entre as massas.
Passo 3
Agora, vamos expressar as coordenadas
e
em termos de
e
. Resolvendo as equações anteriores, temos:
Essas expressões nos permitem reescrever as posições individuais das massas em termos do centro de massa e da posição relativa.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as velocidades das massas derivando as posições em relação ao tempo:
Essas expressões representam as velocidades das massas em termos das velocidades do centro de massa e das velocidades relativas.
Passo 5
Agora, vamos escrever a energia cinética total do sistema. A energia cinética
é a soma das energias cinéticas das duas massas:
Substituindo as expressões das velocidades que encontramos no passo anterior:
Aqui,
é a massa reduzida do sistema.
Passo 6
A próxima etapa é escrever a energia potencial
, que foi fornecida no enunciado:
Essa forma de energia potencial sugere que as massas estão ligadas por uma mola ideal com constante elástica
.
Passo 7
Agora, podemos escrever a Lagrangiana
, que é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Isso nos dá a Lagrangiana em termos das coordenadas do centro de massa e das coordenadas relativas.
Passo 8
Agora, vamos derivar as equações de movimento usando as equações de Euler-Lagrange para cada coordenada
. As equações de Euler-Lagrange são:
onde
representa cada coordenada.
Passo 9
Para as coordenadas do centro de massa
e
, a Lagrangiana depende apenas das suas velocidades e não das posições, então as equações de movimento são:
Isso significa que o centro de massa se move com velocidade constante, ou seja, movimento retilíneo uniforme.
Passo 10
Para as coordenadas relativas
e
, a Lagrangiana inclui termos de energia cinética e potencial. Aplicando as equações de Euler-Lagrange, temos:
Essas são equações diferenciais harmônicas simples que descrevem oscilações em
e
.
Passo 11
As equações diferenciais obtidas indicam que o movimento relativo é harmônico. A solução geral para essas equações é:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
é a frequência angular do movimento.
Passo 12
Para encontrar a frequência
, observamos que a equação diferencial tem a forma:
Comparando com a equação padrão
, identificamos:
Isso nos dá a frequência do movimento relativo das massas.
Resposta
A Lagrangiana do sistema em termos das coordenadas do centro de massa
e das coordenadas relativas
é:
As equações de movimento são:
O movimento do centro de massa é retilíneo uniforme, e o movimento relativo das massas é harmônico com frequência:
Exercícios relacionados
Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial
.
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana
Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas
com
medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.
Quais as duas formas fundamentais de energia?
Uma barra de sabão (massa
) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante
, começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular
, de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma
, onde
é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para
, sabendo que
. [Você precisará se valer do método usado para resolver a equação das oscilações amortecidas forçadas. Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente
sen
e resolva para A.]