Duas massas m1 e m2 se movem em um plano e interagem por uma energia potencial U(r)=12 k r^2. Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas R e r e determine as equações de movimento para as coordenadas X, Y e x, y. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.

Passo 1

Então, temos um exercício de mecânica clássica onde duas massas, e , estão se movendo em um plano e interagem através de uma energia potencial dada por . Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando as coordenadas do centro de massa ( ) e as coordenadas relativas ( ). Depois, vamos derivar as equações de movimento para as coordenadas (do centro de massa) e (relativas), descrever o movimento e determinar a frequência do movimento relativo. Para isso, precisamos entender conceitos como coordenadas de centro de massa, coordenadas relativas, Lagrangiana e equações de Euler-Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa e as coordenadas relativas. O centro de massa R = m1 r1 + m2 r2m1 + m2 é dado por:
r = r1 - r2
E a coordenação relativa é:
Isso nos ajuda a separar o movimento do sistema em movimento do centro de massa e movimento relativo entre as massas.

Passo 3

Agora, vamos expressar as coordenadas r1 = R + m2m1 + m2 r e r2 = R - m1m1 + m2 r em termos de e . Resolvendo as equações anteriores, temos:
Essas expressões nos permitem reescrever as posições individuais das massas em termos do centro de massa e da posição relativa.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as velocidades das massas derivando as posições em relação ao tempo:
dotr1 = dotR + m2m1 + m2 dotr
dotr2 = dotR - m1m1 + m2 dotr
Essas expressões representam as velocidades das massas em termos das velocidades do centro de massa e das velocidades relativas.

Passo 5

Agora, vamos escrever a energia cinética total do sistema. A energia cinética T = 12 m1 dotr1^2 + 12 m2 dotr2^2 é a soma das energias cinéticas das duas massas:
T = 12 (m1 + m2) dotR^2 + 12 mu dotr^2
Substituindo as expressões das velocidades que encontramos no passo anterior:
Aqui, é a massa reduzida do sistema.

Passo 6

A próxima etapa é escrever a energia potencial U(r) = 12 k r^2 , que foi fornecida no enunciado:
Essa forma de energia potencial sugere que as massas estão ligadas por uma mola ideal com constante elástica .

Passo 7

Agora, podemos escrever a Lagrangiana L = T - U = 12 (m1 + m2) dotR^2 + 12 mu dotr^2 - 12 k r^2 , que é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Isso nos dá a Lagrangiana em termos das coordenadas do centro de massa e das coordenadas relativas.

Passo 8

Agora, vamos derivar as equações de movimento usando as equações de Euler-Lagrange para cada coordenada ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0 . As equações de Euler-Lagrange são:
onde representa cada coordenada.

Passo 9

Para as coordenadas do centro de massa (m1 + m2) ddotX = 0 e (m1 + m2) ddotY = 0 , a Lagrangiana depende apenas das suas velocidades e não das posições, então as equações de movimento são:
Isso significa que o centro de massa se move com velocidade constante, ou seja, movimento retilíneo uniforme.

Passo 10

Para as coordenadas relativas mu ddotx + k x = 0 e mu ddoty + k y = 0 , a Lagrangiana inclui termos de energia cinética e potencial. Aplicando as equações de Euler-Lagrange, temos:
Essas são equações diferenciais harmônicas simples que descrevem oscilações em e .

Passo 11

As equações diferenciais obtidas indicam que o movimento relativo é harmônico. A solução geral para essas equações é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
y(t) = C cos(omega t) + D sin(omega t)
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, e é a frequência angular do movimento.

Passo 12

Para encontrar a frequência ddotq + ( kmu ) q = 0 , observamos que a equação diferencial tem a forma:
omega = raizkmu = raizk (m1 + m2)m1 m2
Comparando com a equação padrão , identificamos:
Isso nos dá a frequência do movimento relativo das massas.

Resposta

A Lagrangiana do sistema em termos das coordenadas do centro de massa L = 12 (m1 + m2) dotR^2 + 12 mu dotr^2 - 12 k r^2 e das coordenadas relativas (m1 + m2) ddotX = 0, (m1 + m2) ddotY = 0 é:
mu ddotx + k x = 0, mu ddoty + k y = 0
As equações de movimento são:
omega = raizk (m1 + m2)m1 m2
O movimento do centro de massa é retilíneo uniforme, e o movimento relativo das massas é harmônico com frequência:

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