Duas massas e se movem em um plano e interagem por uma energia potencial . Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas e e determine as equações de movimento para as coordenadas e . Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.

Passo 1

Então, temos um exercício de mecânica clássica onde duas massas, e , estão se movendo em um plano e interagem através de uma energia potencial dada por . Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana do sistema usando as coordenadas do centro de massa ( ) e as coordenadas relativas ( ). Depois, vamos derivar as equações de movimento para as coordenadas (do centro de massa) e (relativas), descrever o movimento e determinar a frequência do movimento relativo. Para isso, precisamos entender conceitos como coordenadas de centro de massa, coordenadas relativas, Lagrangiana e equações de Euler-Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas do centro de massa e as coordenadas relativas. O centro de massa é dado por:
E a coordenação relativa é:
Isso nos ajuda a separar o movimento do sistema em movimento do centro de massa e movimento relativo entre as massas.

Passo 3

Agora, vamos expressar as coordenadas e em termos de e . Resolvendo as equações anteriores, temos:
Essas expressões nos permitem reescrever as posições individuais das massas em termos do centro de massa e da posição relativa.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as velocidades das massas derivando as posições em relação ao tempo:
Essas expressões representam as velocidades das massas em termos das velocidades do centro de massa e das velocidades relativas.

Passo 5

Agora, vamos escrever a energia cinética total do sistema. A energia cinética é a soma das energias cinéticas das duas massas:
Substituindo as expressões das velocidades que encontramos no passo anterior:
Aqui, é a massa reduzida do sistema.

Passo 6

A próxima etapa é escrever a energia potencial , que foi fornecida no enunciado:
Essa forma de energia potencial sugere que as massas estão ligadas por uma mola ideal com constante elástica .

Passo 7

Agora, podemos escrever a Lagrangiana , que é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Isso nos dá a Lagrangiana em termos das coordenadas do centro de massa e das coordenadas relativas.

Passo 8

Agora, vamos derivar as equações de movimento usando as equações de Euler-Lagrange para cada coordenada . As equações de Euler-Lagrange são:
onde representa cada coordenada.

Passo 9

Para as coordenadas do centro de massa e , a Lagrangiana depende apenas das suas velocidades e não das posições, então as equações de movimento são:
Isso significa que o centro de massa se move com velocidade constante, ou seja, movimento retilíneo uniforme.

Passo 10

Para as coordenadas relativas e , a Lagrangiana inclui termos de energia cinética e potencial. Aplicando as equações de Euler-Lagrange, temos:
Essas são equações diferenciais harmônicas simples que descrevem oscilações em e .

Passo 11

As equações diferenciais obtidas indicam que o movimento relativo é harmônico. A solução geral para essas equações é:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, e é a frequência angular do movimento.

Passo 12

Para encontrar a frequência , observamos que a equação diferencial tem a forma:
Comparando com a equação padrão , identificamos:
Isso nos dá a frequência do movimento relativo das massas.

Resposta

A Lagrangiana do sistema em termos das coordenadas do centro de massa e das coordenadas relativas é:
As equações de movimento são:
O movimento do centro de massa é retilíneo uniforme, e o movimento relativo das massas é harmônico com frequência:

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Uma barra de sabão (massa ) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante , começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular , de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma , onde é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para , sabendo que . [Você precisará se valer do método usado para resolver a equação das oscilações amortecidas forçadas. Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente sen e resolva para A.]