A barra uniforme de massa
e comprimento
possui um rolamento na sua extremidade em contato com o plano horizontal. A barra é liberada a partir do repouso na posição mostrada
. Levando em conta que neste caso a aceleração do centro de gravidade tem apenas componente vertical, desprezando o atrito entre o rolamento e o solo, e a massa do rolamento determine imediatamente após a barra ser liberada: a) a força normal
que atua no rolamento inferior; b) aceleração angular da barra.
(2.0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra uniforme de massa
e comprimento
que está apoiada em um rolamento no chão. A barra é solta a partir do repouso em uma posição inclinada de
. Precisamos encontrar:
a) A força normal
que atua no rolamento inferior.
b) A aceleração angular da barra.
Vamos usar conceitos de estática e dinâmica rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando na barra. Temos:
-
O peso da barra,
, agindo no centro de massa da barra, que está no meio dela. -
A força normal
no rolamento, que é o que queremos encontrar na parte a).
Como o rolamento só exerce força vertical (já que desprezamos o atrito), e a barra está inclinada, precisamos decompor as forças para analisar as componentes.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama de forças. O peso
pode ser decomposto em duas componentes:
-
: perpendicular ao rolamento. -
: paralelo ao rolamento.
Como a barra está inclinada a
, temos:
Mas, como a barra está inicialmente em repouso e só tem aceleração vertical, a componente paralela vai gerar torque que causa a rotação.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para as forças verticais:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso depois.
Passo 5
Agora, para encontrar a aceleração angular da barra, usamos a segunda lei de Newton para rotação:
Onde
é o torque,
é o momento de inércia e
é a aceleração angular.
O torque é gerado pela componente paralela do peso:
O momento de inércia da barra é dado:
Substituindo na equação da segunda lei:
Podemos simplificar
e
:
Isolando
:
Resposta
a) A força normal
no rolamento inferior é aproximadamente
.
b) A aceleração angular da barra é $ \alpha = \frac{6 \cdot 9,8\ \mathrm{m/s^2} \cdot \sin(30^\circ)}{2\ \mathrm{m}} = 14,7\ \mathrm{rad/s^2}$.