Uma roda de raio r rola sem deslizar ao longo do eixo x com velocidade constante v0, como mostrado. Escreva as equações do movimento x(t), dotx(t) e ddotx(t) de um ponto A na borda da roda que parte da origem O cdot(2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o movimento de uma roda que rola sem deslizar. A roda tem raio $ r $ e está se movendo com velocidade constante $ v_0 $ ao longo do eixo $ x $. Precisamos encontrar as equações do movimento $ x(t) $, $ \dot{x}(t) $ e $ \ddot{x}(t) $ para um ponto $ A $ na borda da roda que começa na origem $ O(2,0) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e translacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a roda está rolando sem deslizar. Isso significa que a velocidade linear da roda $ v_0 $ está relacionada com a velocidade angular $ \omega $ pela relação:
v0
Aqui, $ \omega $ é a velocidade angular da roda.

Passo 3

Como a roda está rolando sem deslizar, a posição $ x(t) $ do centro da roda em relação ao tempo pode ser expressa como:
x(t)
Isso porque a velocidade é constante, então a posição varia linearmente com o tempo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição do ponto $ A $ na borda da roda. O ponto $ A $ está se movendo tanto devido à translação da roda quanto à rotação em torno do centro. Podemos usar a parametrização circular para expressar a posição de $ A $ em termos de $ \theta(t) $, onde $ \theta(t) = \omega t $:
A
A
Como estamos interessados apenas em $ x(t) $, focamos na equação $ x_A(t) = v_0 t - r \sin(\omega t) $.

Passo 5

A primeira derivada de $ x_A(t) $ em relação ao tempo nos dá a velocidade $ \dot{x}(t) $ do ponto $ A $:
xA(t)
Substituindo $ \omega = \frac{v_0}{r} $:
dotx(t)

Passo 6

A segunda derivada de $ x_A(t) $ nos dá a aceleração $ \ddot{x}(t) $ do ponto $ A $:
xA(t)
Novamente, substituindo $ \omega = \frac{v_0}{r} $:
ddotx(t)

Resposta

As equações do movimento do ponto $ A $ são:
A
x(t) = v0 t - r sin( v0r t )
dotx(t) = v0 ( 1 - cos( v0r t ) )

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