Uma barragem possui um sistema de monitoramento de fissuras que utiliza três tipos de sensores: A, B e C. A probabilidade de um sensor do tipo A detectar uma fissura, dado que ela existe, é de 0,98 , enquanto a probabilidade de gerar um falso alarme é de 0,05 . Para o tipo B, a probabilidade de detecção correta é de 0,95 , com 0,03 de probabilidade de falso alarme. Para o tipo C, a probabilidade de detecção correta é de 0,9 , com 0,02 de probabilidade de falso alarme. Sabemos que 40 % dos sensores instalados são do tipo A, 35 % são do tipo B, e 25 % são do tipo C. Suponha que um sensor emitiu um alarme indicando a presença de uma fissura. Qual é a probabilidade de que essa fissura realmente exista?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os sensores A, B e C que monitoram fissuras numa barragem. Queremos descobrir a probabilidade de realmente existir uma fissura quando um sensor dispara um alarme. Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes. Vamos precisar considerar as taxas de detecção e de falsos alarmes de cada tipo de sensor, além da proporção de cada tipo de sensor instalado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um sensor emitir um alarme, considerando que realmente existe uma fissura. Isso é dado por:
P(D|F) = P(A) times P(D|F)A + P(B) times P(D|F)B + P(C) times P(D|F)C
Onde:
  • (40% dos sensores são do tipo A)
  • (probabilidade de detecção correta do tipo A)
  • Similarmente para os sensores B e C.

Passo 3

Vamos agora calcular:
P(D|F) = 0,40 times 0,98 + 0,35 times 0,95 + 0,25 times 0,90
P(D|F) = 0,392 + 0,3325 + 0,225 = 0,9495
Então, a probabilidade de um alarme ser emitido quando existe uma fissura é aproximadamente 94,95%.

Passo 4

Em seguida, calculamos a probabilidade de um sensor emitir um alarme mesmo que não exista uma fissura ( P(D|lnot F) = P(A) times P(D|lnot F)A + P(B) times P(D|lnot F)B + P(C) times P(D|lnot F)C ):
P(D|lnot F) = 0,40 times 0,05 + 0,35 times 0,03 + 0,25 times 0,02
P(D|lnot F) = 0,02 + 0,0105 + 0,005 = 0,0355
Então, a probabilidade de um alarme falso é aproximadamente 3,55%.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(F|D) = P(D|F) times P(F)P(D|F) times P(F) + P(D|lnot F) times P(lnot F) , a probabilidade de realmente existir uma fissura dado que um alarme foi emitido:
P(F|D) = 0,9495 times p0,9495 times p + 0,0355 times (1 - p)
Aqui, é a probabilidade a priori de existir uma fissura. Como não foi fornecida na questão, vamos assumir que . Portanto:

Resposta

A probabilidade de que uma fissura realmente exista, dado que um sensor emitiu um alarme, é:
P(F|D) = 0,9495 times p0,9495 times p + 0,0355 times (1 - p)
onde representa a probabilidade inicial de existir uma fissura.

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