Uma barragem possui um sistema de monitoramento de fissuras que utiliza três tipos de sensores: A, B e C. A probabilidade de um sensor do tipo A detectar uma fissura, dado que ela existe, é de 0,98 , enquanto a probabilidade de gerar um falso alarme é de 0,05 . Para o tipo
, a probabilidade de detecção correta é de 0,95 , com 0,03 de probabilidade de falso alarme. Para o tipo C, a probabilidade de detecção correta é de 0,9 , com 0,02 de probabilidade de falso alarme. Sabemos que
dos sensores instalados são do tipo A,
são do tipo B, e
são do tipo C. Suponha que um sensor emitiu um alarme indicando a presença de uma fissura. Qual é a probabilidade de que essa fissura realmente exista?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os sensores A, B e C que monitoram fissuras numa barragem. Queremos descobrir a probabilidade de realmente existir uma fissura quando um sensor dispara um alarme. Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes. Vamos precisar considerar as taxas de detecção e de falsos alarmes de cada tipo de sensor, além da proporção de cada tipo de sensor instalado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um sensor emitir um alarme, considerando que realmente existe uma fissura. Isso é dado por:
Onde:
-
(40% dos sensores são do tipo A) -
(probabilidade de detecção correta do tipo A) - Similarmente para os sensores B e C.
Passo 3
Vamos agora calcular:
Então, a probabilidade de um alarme ser emitido quando existe uma fissura é aproximadamente 94,95%.
Passo 4
Em seguida, calculamos a probabilidade de um sensor emitir um alarme mesmo que não exista uma fissura (
):
Então, a probabilidade de um alarme falso é aproximadamente 3,55%.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
, a probabilidade de realmente existir uma fissura dado que um alarme foi emitido:
Aqui,
é a probabilidade a priori de existir uma fissura. Como não foi fornecida na questão, vamos assumir que
. Portanto:
Resposta
A probabilidade de que uma fissura realmente exista, dado que um sensor emitiu um alarme, é:
onde
representa a probabilidade inicial de existir uma fissura.
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Dada a distribuição amostral. Calcule a moda.
Salários
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Empregados |
---|---|
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80 |
|
50 |
|
30 |
Em um canteiro de obras, há três tipos de equipamentos: escavadeiras, guindastes e compactadores. A probabilidade de falha de uma escavadeira é de
, de um guindaste é de
, e de um compactador é de
. A proporção de uso desses equipamentos no canteiro é de
para escavadeiras,
para guindastes, e 20% para compactadores. Se um equipamento falhar, qual a probabilidade de que a falha tenha ocorrido em um guindaste?
Dada a amostra:
a) Determine a média aritmética;
b) Determine a mediana;
c) Qual é a amplitude total?
d) Determine o desvio médio;
e) Calcule a variância e o desvio padrão.
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