Durante a inspeção de um trecho de 5 km de uma rodovia pavimentada, foram observados defeitos em uma taxa média de 2 defeitos por quilômetro. Considere que a ocorrência de defeitos segue uma distribuição de Poisson.
13. Qual é a probabilidade de encontrar exatamente 3 defeitos em um trecho de 2 km da rodovia?
14. Qual é a probabilidade de não encontrar mais do que 1 defeito em um trecho de 3 km da rodovia?
15. Qual é o número esperado de defeitos em um trecho de 4 km e qual o desvio padrão associado a essa estimativa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um trecho de 5 km de rodovia onde, em média, aparecem 2 defeitos por quilômetro. Isso significa que a taxa média de defeitos é de λ = 2 defeitos/km. A distribuição utilizada para modelar isso é a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo, especialmente quando esses eventos ocorrem de forma independente.
Para resolver as três partes da questão, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da Distribuição de Poisson, que é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • é a probabilidade de ocorrerem exatamente eventos,
  • é a taxa média de ocorrência,
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • é o fatorial de .

Passo 2

Questão 13: Qual é a probabilidade de encontrar exatamente 3 defeitos em um trecho de 2 km da rodovia?
Primeiro, precisamos ajustar a taxa média lambda = 2 defeitos/km times 2 km = 4 defeitos para o novo trecho de 2 km. Como a taxa é de 2 defeitos por quilômetro, para 2 km teremos:
P(3; 4) = e^-4 times 4^33! = e^-4 times 646
Agora, queremos a probabilidade de exatamente 3 defeitos ( P(3; 4) = 0,0183 times 646 approx 1,17126 approx 0,1952 ):
Calculando os valores:
Então, a probabilidade é aproximadamente 19,52%.

Passo 3

Questão 14: Qual é a probabilidade de não encontrar mais do que 1 defeito em um trecho de 3 km da rodovia?
Primeiro, ajustamos a taxa lambda = 2 defeitos/km times 3 km = 6 defeitos para 3 km:
P(0; 6) = e^-6 times 6^00! = e^-6 approx 0,0025
Queremos a probabilidade de P(1; 6) = e^-6 times 6^11! = 6e^-6 approx 0,0149 ser no máximo 1, ou seja, P(k <= 1) = P(0; 6) + P(1; 6) approx 0,0025 + 0,0149 = 0,0174 ou .
Calculamos separadamente e somamos as probabilidades:
Somando as duas probabilidades:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 1,74%.

Passo 4

Questão 15: Qual é o número esperado de defeitos em um trecho de 4 km e qual o desvio padrão associado a essa estimativa?
O número esperado de defeitos ( lambda = 2 defeitos/km times 4 km = 8 defeitos ) em uma distribuição de Poisson é igual à taxa média sigma = raizlambda = raiz8 approx 2,828 . Para 4 km:
Então, o número esperado é 8 defeitos.
O desvio padrão ( ) em uma distribuição de Poisson é a raiz quadrada da taxa média:
Portanto, o desvio padrão é aproximadamente 2,828 defeitos.

Resposta

  1. Questão 13: A probabilidade de encontrar exatamente 3 defeitos em 2 km é aproximadamente 19,52%.
  2. Questão 14: A probabilidade de não encontrar mais do que 1 defeito em 3 km é aproximadamente 1,74%.
  3. Questão 15: O número esperado de defeitos em 4 km é 8 defeitos e o desvio padrão associado é aproximadamente 2,828 defeitos.

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