Em um canteiro de obras, há três tipos de equipamentos: escavadeiras, guindastes e compactadores. A probabilidade de falha de uma escavadeira é de 10 %, de um guindaste é de 5 %, e de um compactador é de 15 %. A proporção de uso desses equipamentos no canteiro é de 50 % para escavadeiras, 30 % para guindastes, e 20% para compactadores. Se um equipamento falhar, qual a probabilidade de que a falha tenha ocorrido em um guindaste?

Passo 1

Ok, vamos resumir o que a questão está perguntando. Temos um canteiro de obras com três tipos de equipamentos: escavadeiras, guindastes e compactadores. Cada tipo de equipamento tem uma certa chance de falhar: 10% para escavadeiras, 5% para guindastes e 15% para compactadores. Além disso, sabemos que 50% do uso é com escavadeiras, 30% com guindastes e 20% com compactadores. A pergunta é: se um equipamento falhar, qual a probabilidade de que esse equipamento seja um guindaste?
Nesse problema, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já conhecemos:
  • Proporção de uso dos equipamentos:
    • Escavadeiras (E): 50% ou 0,5
    • Guindastes (G): 30% ou 0,3
    • Compactadores ©: 20% ou 0,2
  • Probabilidade de falha de cada equipamento:
    • P(F | E) = 10% ou 0,1
    • P(F | G) = 5% ou 0,05
    • P(F | C) = 15% ou 0,15

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que, dado que houve uma falha (F), o equipamento seja um guindaste (G), ou seja, P(G | F).
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais:
P(G | F) = P(F | G) times P(G)P(F)

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular P(F), que é a probabilidade total de falha. Isso pode ser encontrado somando as probabilidades de falha de cada tipo de equipamento, ponderadas pela proporção de uso:
P(F) = P(F | E) times P(E) + P(F | G) times P(G) + P(F | C) times P(C)
Substituindo os valores:
P(F) = 0,1 times 0,5 + 0,05 times 0,3 + 0,15 times 0,2
P(F) = 0,05 + 0,015 + 0,03 = 0,095
Então, P(F) = 0,095 ou 9,5%

Passo 5

Agora, podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar P(G | F):
P(G | F) = P(F | G) times P(G)P(F) = 0,05 times 0,30,095 = 0,0150,095 approx 0,1579

Resposta

A probabilidade de que a falha tenha ocorrido em um guindaste é aproximadamente 15,79%.

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