A base plana de um ferro de passar roupas de 800 W de potência possui 6 mm de espessura e área de 160 cm 2 . A condutividade térmica da liga metálica é 20 W /(m K). A superfície superior da base recebe o fluxo de calor proveniente das resistências de aquecimento localizadas no interior do ferro e quando operando em regime estacionário na condição de potência máxima, a superfície inferior (em contato com a tábua) encontrase a 85^circ C. Desprezando eventuais perdas de calor para o ambiente e para outras partes do ferro, pede-se:
(b) Obtenha a equação (literal) que descreve a variação de temperatura;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre condução de calor aplicado a um ferro de passar roupas. A base do ferro tem 6 mm de espessura, área de 160 cm² e uma condutividade térmica de 20 W/(m cdot K). Quando está funcionando na potência máxima de 800 W, a parte de baixo da base que toca na tábua está a 85^circ C. Queremos encontrar a equação que descreve como a temperatura varia através da espessura da base. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Fourier da condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A espessura da base é 6 mm, que é igual a 0,006 metros. A área é 160 cm², que é 0,016 metros quadrados.

Passo 3

A Lei de Fourier nos diz que a taxa de condução de calor Q através de um material é dada por:
Q = -k cdot A cdot dTdx
Onde:
  • Q é a taxa de condução de calor (em watts, W),
  • k é a condutividade térmica do material (em W/(m cdot K)),
  • A é a área de seção transversal (em m^2),
  • dTdx é o gradiente de temperatura (em K/m).

Passo 4

Como estamos procurando a variação de temperatura T em função da posição x, vamos rearranjar a equação para isolar dTdx:
dTdx = -Qk cdot A

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar T em função de x:
integral dT = -Qk cdot A integral dx
Isso resulta em:
T(x) = -Qk cdot A x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para determinar a constante C, usamos as condições de contorno. Sabemos que na posição x = 0 (superfície superior da base), vamos considerar a temperatura T0, e na posição x = L (superfície inferior em contato com a tábua), a temperatura é 85^circ C.
Então, temos:
T(0) = T0 = C
E
T(L) = -Qk cdot A L + C = 85^circ C
Substituindo C = T0 na segunda equação:
85 = -Qk cdot A L + T0

Passo 7

Rearranjando para encontrar a equação da temperatura:
T(x) = -Qk cdot A x + T0
Mas como queremos uma equação literal que descreve a variação, podemos deixar T0 como a temperatura na superfície superior e expressar a relação completa entre T(x) e x.

Resposta

A equação que descreve a variação de temperatura na base do ferro é:
T(x) = T0 - Qk cdot A x
Onde:
  • T(x) é a temperatura a uma distância x da superfície superior,
  • T0 é a temperatura na superfície superior,
  • Q é a potência (800 W),
  • k é a condutividade térmica (20 W/(m cdot K)),
  • A é a área da seção transversal (0,016 m^2),
  • x é a posição dentro da base (entre 0 e 0,006 m).

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