A base plana de um ferro de passar roupas de 800 W de potência possui 6 mm de espessura e área de 160 cm 2 . A condutividade térmica da liga metálica é 20
. A superfície superior da base recebe o fluxo de calor proveniente das resistências de aquecimento localizadas no interior do ferro e quando operando em regime estacionário na condição de potência máxima, a superfície inferior (em contato com a tábua) encontrase a
. Desprezando eventuais perdas de calor para o ambiente e para outras partes do ferro, pede-se:
(b) Obtenha a equação (literal) que descreve a variação de temperatura;
(b) Obtenha a equação (literal) que descreve a variação de temperatura;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre condução de calor aplicado a um ferro de passar roupas. A base do ferro tem 6 mm de espessura, área de 160 cm² e uma condutividade térmica de 20
. Quando está funcionando na potência máxima de 800 W, a parte de baixo da base que toca na tábua está a
. Queremos encontrar a equação que descreve como a temperatura varia através da espessura da base. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Fourier da condução de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A espessura da base é 6 mm, que é igual a 0,006 metros. A área é 160 cm², que é 0,016 metros quadrados.
Passo 3
A Lei de Fourier nos diz que a taxa de condução de calor
através de um material é dada por:
Onde:
-
é a taxa de condução de calor (em watts, W), -
é a condutividade térmica do material (em ), -
é a área de seção transversal (em ), -
é o gradiente de temperatura (em K/m).
Passo 4
Como estamos procurando a variação de temperatura
em função da posição
, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar
em função de
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para determinar a constante
, usamos as condições de contorno. Sabemos que na posição
(superfície superior da base), vamos considerar a temperatura
, e na posição
(superfície inferior em contato com a tábua), a temperatura é
.
Então, temos:
E
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Rearranjando para encontrar a equação da temperatura:
Mas como queremos uma equação literal que descreve a variação, podemos deixar
como a temperatura na superfície superior e expressar a relação completa entre
e
.
Resposta
A equação que descreve a variação de temperatura na base do ferro é:
Onde:
-
é a temperatura a uma distância da superfície superior, -
é a temperatura na superfície superior, -
é a potência (800 W), -
é a condutividade térmica (20 ), -
é a área da seção transversal (0,016 ), -
é a posição dentro da base (entre 0 e 0,006 m).