Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro [ rho =8.954 kg / m^3, Cp=383 J /(kg ^circ C), k=400 W / m ^circ C], inicialmente a uma temperatura uniforme T=230^circ C, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a uma temperatura uniforme Tinfty=40^circ C. O coeficiente de calor entre a esfera e o fluido é h=220 W / m 2 ^circ C.
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. Temos uma esfera de metal sólida com diâmetro de 10 cm, que está inicialmente a 230°C. Essa esfera é mergulhada de repente em um fluido que está bem agitado e mantido a 40°C. O coeficiente de transferência de calor entre a esfera e o fluido é de 220 W/(m²°C). A pergunta é: É possível aplicar a análise global do sistema?
Para resolver isso, vamos precisar entender e calcular o Número de Biot, que nos ajuda a decidir se podemos simplificar a análise térmica usando o modelo global.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a análise global do sistema. Essa abordagem, também chamada de modelo de resfriamento lumped, assume que a temperatura dentro do objeto (neste caso, a esfera) é uniforme ao longo do tempo. Isso simplifica bastante os cálculos, mas só é válido se a condução de calor interna for muito rápida comparada à transferência de calor na superfície.
Para verificar se podemos usar essa análise, usamos o Número de Biot (Bi), que é uma dimensão adimensional que relaciona a resistência térmica interna com a externa.

Passo 3

A fórmula para o Número de Biot é:
Bi = h times Lck
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor (220 W/(m²°C))
  • $ L_c $ é o comprimento característico do objeto
  • $ k $ é a condutividade térmica do material (400 W/(m°C))

Passo 4

Agora, precisamos calcular o comprimento característico ($ L_c $). Para uma esfera, $ L_c $ é calculado como o volume sobre a área de superfície. Mas uma forma mais simples é usar:
Lc
Onde $ D $ é o diâmetro da esfera.
Dado que o diâmetro $ D = 10 $ cm = 0,1 m,
Lc
Agora, calculamos o Número de Biot:
Lc = D6

Passo 5

Com o Número de Biot calculado em aproximadamente 0,0092, que é menor que 0,1, podemos concluir que a análise global do sistema é válida. Isso significa que podemos assumir que a temperatura dentro da esfera permanece uniforme durante o processo de resfriamento.

Resposta

Sim, é possível aplicar a análise global do sistema, pois o Número de Biot calculado é menor que 0,1.

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