Uma bastão de densidade linear de massa
está escorado em um disco de raio R. o bastão faz um ângulo
com a horizontal, apoiado no chão, e é tangente ao círculo na sua extremidade superior. Existe atrito em todos os pontos de contato - e considere que ele é suficiente para manter o sistema em equilíbrio. Encontre a força de atrito entre o disco e o chăo.
b
b
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bastão com densidade linear de massa
que está apoiado em um disco de raio
. Esse bastão faz um ângulo
com a horizontal, está encostado no chão e é tangente ao círculo na sua extremidade superior. O sistema está em equilíbrio, ou seja, não está se movendo, e há atrito suficiente em todos os pontos de contato para manter tudo no lugar. Nosso objetivo aqui é encontrar a força de atrito entre o disco e o chão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças e momentos, além de entender um pouco sobre atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema:
- Peso do bastão (
): Agindo para baixo, no centro de massa do bastão. - Força de atrito no chão (
): Essa é a força que precisamos encontrar. - Força normal no chão (
): Força perpendicular ao chão, equilibrando o peso. - Forças de atrito e normal na interface entre o bastão e o disco: Como a questão menciona, há atrito suficiente para manter o equilíbrio, mas nosso foco principal é a força de atrito no chão.
Passo 3
Vamos considerar o equilíbrio de forças verticais e horizontais.
Equilíbrio vertical:
A soma das forças na vertical deve ser zero. Assim:
A soma das forças na vertical deve ser zero. Assim:
Onde
é a força normal do chão e
é o peso do bastão.
Equilíbrio horizontal:
A soma das forças na horizontal também deve ser zero. A única força horizontal é a força de atrito , que deve equilibrar qualquer outra força horizontal presente.
A soma das forças na horizontal também deve ser zero. A única força horizontal é a força de atrito
Passo 4
Agora, vamos analisar os momentos para garantir que o sistema esteja em equilíbrio rotacional.
Escolhemos o ponto de contato do disco com o chão como fulcro para calcular os momentos. A soma dos momentos em torno desse ponto também deve ser zero.
O momento causado pelo peso do bastão é:
E o momento causado pela força de atrito
é:
Para estar em equilíbrio:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Primeiro, podemos simplificar
dos dois lados:
Sabemos que o peso
é dado por:
Substituindo na equação, temos:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a força de atrito:
Resposta
A força de atrito entre o disco e o chão é
.