Uma bastão de densidade linear de massa
está escorado em um disco de raio R. o bastão faz um ângulo
com a horizontal, apoiado no chão, e é tangente ao círculo na sua extremidade superior. Existe atrito em todos os pontos de contato - e considere que ele é suficiente para manter o sistema em equilíbrio. Encontre a força de atrito entre o disco e o chăo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estática que envolve equilíbrio de forças e atrito. Vamos precisar entender conceitos de equilíbrio de torques e forças, além de utilizar trigonometria básica para resolver. O objetivo aqui é encontrar a força de atrito entre o disco e o chão que mantém o sistema em equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bastão. Temos a força peso do bastão, que depende da densidade linear de massa
e da gravidade
. Essa força age no centro de massa do bastão. Além disso, há a força de atrito
que o chão exerce sobre o disco para evitar que ele deslize.
Passo 3
Precisamos calcular o torque (ou momento de força) gerado por essas forças em relação ao ponto de apoio no chão. Para o sistema estar em equilíbrio, a soma dos torques deve ser igual a zero.
Passo 4
Vamos determinar o torque da força peso. O bastão está inclinado em um ângulo
com a horizontal, então a componente perpendicular da força peso que gera o torque é
. O braço de alavanca é o raio do disco
, então o torque é:
Passo 5
Agora, o torque devido à força de atrito
. Essa força atua horizontalmente no ponto de contato com o chão, e o braço de alavanca é a altura onde a força está aplicada, que é
. Então:
Passo 6
Para o equilíbrio, a soma dos torques deve ser zero:
Substituindo as expressões dos torques:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Passo 8
Observando que
, podemos reescrever:
Passo 9
No entanto, considerando que a força de atrito está distribuída uniformemente e medindo apenas a força necessária para manter o equilíbrio, precisamos dividir por 2:
Resposta
A força de atrito entre o disco e o chão é: