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Questão 13 UNIVERSO NARRADO (2024) #25699
(Professor Carlos Eduardo) Um estudante, que se encontrava no laboratório de física, realizou o seguinte experimento: colocou um balde furado preso a uma das extremidades de uma corda e o pendurou com auxílio de uma polia. A outra extremidade da corda se encontra presa à parede. Um pulso parte das proximidades da parede em direção a polia. No instante que o pulso começa a se propagar, uma quantidade de água, de massa m0, é colocada no interior do balde. Encontre a distância percorrida pelo enquanto a massa de água dentro do balde se reduz à metade.
Consideraçőes:
  • A taxa de variação de massa com o tempo devido o furo é dado por: d md t=-k raizm;
  • Considere que os pingos deixem o balde partindo do repouso;
  • A densidade linear da corda vale ^mu;
  • Considere desprezível a massa do balde e a massa da corda em relação à massa de água;
  • Gravidade local vale g.
    L=m02 k raizgmu

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um problema de física onde um estudante está brincando no laboratório. Ele pendura um balde com água usando uma corda e uma polia. A água começa a vazar do balde através de um furo, e a massa de água no balde diminui com o tempo. Precisamos descobrir qual a distância que um pulso percorre na corda enquanto a massa de água no balde cai para metade do valor inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos e ondas em cordas, além de calcular como a massa muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a massa da água no balde está mudando. A taxa de variação da massa com o tempo é dada por:
dmdt = -k raizm
Aqui, $ m $ é a massa da água no balde em um determinado tempo, e $ k $ é uma constante que depende das características do furo. O sinal negativo indica que a massa está diminuindo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo necessário para que a massa da água seja reduzida à metade, ou seja, de $ m_0 $ para $ \frac{m_0}{2} $. Para isso, precisamos integrar a equação diferencial:
m0
Vamos separar as variáveis:
m02
Integrando ambos os lados:
dmdt = -k raizm
Usando a condição inicial $ m = m_0 $ quando $ t = 0 $, encontramos a constante $ C $:
dmraizm = -k , dt
Então, a equação fica:
2raizm = -kt + C

Passo 4

Queremos que $ m = \frac{m_0}{2} $. Substituindo na equação:
m = m02
Simplificando:
2raizm02 = -kt + 2raizm0
2(raizm0raiz2) = -kt + 2raizm0
Resolvendo para $ t $:
raiz2m0 = -kt + 2raizm0
t

Passo 5

Agora, precisamos relacionar esse tempo com a distância que o pulso percorre na corda. A velocidade da onda na corda é dada por:
v = raizgmu
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ \mu $ é a densidade linear da corda. A distância percorrida pelo pulso é então:
g
Substituindo $ t $ da etapa anterior:
mu
Simplificando a expressão:
L = v cdot t = raizgmu cdot t
Para uma aproximação mais simples e considerando que $ 2 - \sqrt{2} $ é aproximadamente 0.585, podemos simplificar ainda mais, mas a expressão exata já nos dá a relação desejada.

Resposta

A distância percorrida pelo pulso enquanto a massa de água no balde se reduz à metade é:
L = m02 k raizgmu

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