Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme lambda encontra-se no eixo x entre x=0 e x=a. (a) Mostre que o componente x do campo elétrico em um ponto P a uma distância y no eixo y é dado por:
Ex=k lambday-k lambdaraizy^2+a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um bastão fininho com carga distribuída de forma uniforme ao longo dele, ou seja, com densidade linear de carga lambda. Esse bastão está posicionado no eixo x, indo de x=0 até x=a. A gente precisa encontrar a componente x do campo elétrico ( Ex) em um ponto P que está a uma distância y no eixo y. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um pedacinho infinitesimal do bastão na posição x, com comprimento dx. A carga desse pedacinho é dq = lambda , dx.

Passo 3

O campo elétrico gerado por essa carga dq no ponto P pode ser calculado pela fórmula:
dE = k dqr^2 r
onde:
  • k é a constante eletrostática,
  • r é a distância entre dq e P,
  • r é o vetor unitário na direção de P.

Passo 4

A distância r entre o ponto dq em x e o ponto P (no eixo y a distância y) é dada por:
r = raizx^2 + y^2

Passo 5

O vetor unitário r tem componentes nas direções x e y:
r = x i + y jraizx^2 + y^2

Passo 6

Como estamos interessados apenas na componente x do campo elétrico, vamos projetar dE na direção x:
dEx = dE cdot costheta = dE cdot xraizx^2 + y^2
Substituindo dE:
dEx = k lambda , dxx^2 + y^2 cdot xraizx^2 + y^2 = k lambda x , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total Ex, integrando dEx de x=0 até x=a:
Ex = integral0^a k lambda x , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 8

Resolvendo a integral:
Ex = k lambda [ -1raizx^2 + y^2 ]0^a = k lambda ( -1raiza^2 + y^2 + 1y )

Resposta

Portanto, a componente x do campo elétrico no ponto P é:
Ex = k lambday - k lambdaraizy^2+a^2

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