Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme
encontra-se no eixo
entre
e
. (a) Mostre que o componente
do campo elétrico em um ponto
a uma distância
no eixo
é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um bastão fininho com carga distribuída de forma uniforme ao longo dele, ou seja, com densidade linear de carga
. Esse bastão está posicionado no eixo
, indo de
até
. A gente precisa encontrar a componente
do campo elétrico (
) em um ponto
que está a uma distância
no eixo
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um pedacinho infinitesimal do bastão na posição
, com comprimento
. A carga desse pedacinho é
.
Passo 3
O campo elétrico gerado por essa carga
no ponto
pode ser calculado pela fórmula:
onde:
-
é a constante eletrostática, -
é a distância entre e , -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
A distância
entre o ponto
em
e o ponto
(no eixo
a distância
) é dada por:
Passo 5
O vetor unitário
tem componentes nas direções
e
:
Passo 6
Como estamos interessados apenas na componente
do campo elétrico, vamos projetar
na direção
:
Substituindo
:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico total
, integrando
de
até
:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Resposta
Portanto, a componente
do campo elétrico no ponto
é: