Mostre que se o bastão se estende de
a
, o componente
do campo elétrico em um ponto
à uma distância
no eixo
é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma questão onde temos um bastão carregado que vai de
até
. Queremos encontrar a componente
do campo elétrico (
) em um ponto
que está a uma distância
no eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por uma distribuição de carga linear. Precisaremos lembrar como calcular o campo elétrico de um elemento de carga e integrar isso ao longo do bastão.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um bastão que se estende do ponto
até
no eixo
. O ponto
está no eixo
a uma distância
de origem. Queremos achar a componente
do campo elétrico em
devido a todo o bastão.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de carga
localizado em uma posição
ao longo do bastão. A carga
pode ser expressa como
, onde
é a densidade linear de carga.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento
no ponto
tem magnitude dada por:
onde
é a constante eletrostática e
é a distância entre
e
. Neste caso,
.
Passo 5
O campo elétrico
tem duas componentes: uma no eixo
e outra no eixo
. Como estamos interessados apenas na componente
, precisamos projetar
nessa direção. Isso é feito multiplicando
pelo cosseno do ângulo
que
faz com o eixo
:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo elétrico total
, precisamos integrar
ao longo de todo o bastão, ou seja, de
até
:
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo a derivada de uma função conhecida. O resultado dessa integração nos dá:
Resposta
Portanto, a componente
do campo elétrico no ponto
é dada por