Mostre que se o bastão se estende de x=-b a x=a, o componente x do campo elétrico em um ponto P à uma distância y no eixo y é dado por
Ex=k lambdaraizy^2+b^2-k lambdaraizy^2+a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma questão onde temos um bastão carregado que vai de até . Queremos encontrar a componente do campo elétrico ( ) em um ponto que está a uma distância no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por uma distribuição de carga linear. Precisaremos lembrar como calcular o campo elétrico de um elemento de carga e integrar isso ao longo do bastão.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um bastão que se estende do ponto até no eixo . O ponto está no eixo a uma distância de origem. Queremos achar a componente do campo elétrico em devido a todo o bastão.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de carga localizado em uma posição ao longo do bastão. A carga pode ser expressa como , onde é a densidade linear de carga.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento dE = k , dqr^2 no ponto tem magnitude dada por:
onde é a constante eletrostática e é a distância entre e . Neste caso, .

Passo 5

O campo elétrico dEx = dE cdot xraizy^2 + x^2 = k lambda dxy^2 + x^2 cdot x tem duas componentes: uma no eixo e outra no eixo . Como estamos interessados apenas na componente , precisamos projetar nessa direção. Isso é feito multiplicando pelo cosseno do ângulo que faz com o eixo :

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico total Ex = integral-b^a k lambda x , dx(y^2 + x^2)^3/2 , precisamos integrar ao longo de todo o bastão, ou seja, de até :

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo a derivada de uma função conhecida. O resultado dessa integração nos dá:
Ex = k lambdaraizy^2 + b^2 - k lambdaraizy^2 + a^2

Resposta

Portanto, a componente Ex = k lambdaraizy^2+b^2 - k lambdaraizy^2+a^2 do campo elétrico no ponto é dada por

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