Um campo elétrico é dado por
em que
e
. (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico produzido
em um ponto qualquer, sabendo que ele deve ser zero na origem. (b) Calcule a intensidade do trabalho efetuado pelo campo elétrico para deslocar uma carga
do ponto (1,2) até o ponto
do plano cartesiano. A localização dos pontos é dada em metro. © Calcule o valor da densidade volumétrica de carga na região.
em um ponto qualquer, sabendo que ele deve ser zero na origem. (b) Calcule a intensidade do trabalho efetuado pelo campo elétrico para deslocar uma carga
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo elétrico dado pela expressão
, com
e
. Precisamos calcular três coisas:
a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, sabendo que é zero na origem.
b) O trabalho feito pelo campo elétrico para mover uma carga de
de um ponto
para
no plano cartesiano.
c) A densidade volumétrica de carga na região.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como potencial elétrico, trabalho realizado por campos elétricos e densidade de carga. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, com a condição de que seja zero na origem.
O potencial elétrico
está relacionado ao campo elétrico
pela relação:
No caso bidimensional, isso se traduz em:
Dado que
, temos:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
. Agora, usamos
:
Substituindo
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Passo 4
Agora, usamos a condição de que o potencial elétrico é zero na origem
:
Portanto, a expressão final para o potencial elétrico é:
Passo 5
Substituindo os valores de
e
:
Então, a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto
é:
Resposta
a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto é
.
Exercícios relacionados
Mostre que se o bastão se estende de
a
, o componente
do campo elétrico em um ponto
à uma distância
no eixo
é dado por
Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme
encontra-se no eixo
entre
e
. (a) Mostre que o componente
do campo elétrico em um ponto
a uma distância
no eixo
é dado por:
Um bastão fino com densidade linear de carga uniforme
está no eixo
entre
. Mostre que o componente
do campo elétrico em um ponto
na o eixo y é dado por
onde
é o ângulo entre o eixo
e reta que conecta o ponto
e a extremidade do bastão em
.
Um disco circular de raio
está carregado com uma densidade superficial de carga
. Demonstre que a intensidade do potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo afastado de
do seu centro é dado por
.