Um campo elétrico é dado por E(x)=a x i-b j em que a=2 V / m^2 e b=1 V / m. (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico produzido
em um ponto qualquer, sabendo que ele deve ser zero na origem. (b) Calcule a intensidade do trabalho efetuado pelo campo elétrico para deslocar uma carga q=10^-8 C do ponto (1,2) até o ponto (2,-1) do plano cartesiano. A localização dos pontos é dada em metro. © Calcule o valor da densidade volumétrica de carga na região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo elétrico dado pela expressão E(x) = a x i - b j, com a = 2 , V/m^2 e b = 1 , V/m. Precisamos calcular três coisas:
a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, sabendo que é zero na origem.
b) O trabalho feito pelo campo elétrico para mover uma carga de q = 10^-8 , C de um ponto (1,2) para (2,-1) no plano cartesiano.
c) A densidade volumétrica de carga na região.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como potencial elétrico, trabalho realizado por campos elétricos e densidade de carga. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, com a condição de que seja zero na origem.
O potencial elétrico V está relacionado ao campo elétrico E pela relação:
E = -nabla V
No caso bidimensional, isso se traduz em:
Ex = -partial Vpartial x e Ey = -partial Vpartial y
Dado que E(x) = a x i - b j, temos:
Ex = a x e Ey = -b
Vamos integrar Ex em relação a x para encontrar V.

Passo 3

Integrando Ex = a x em relação a x:
V(x, y) = -integral Ex , dx = -integral a x , dx = -a2 x^2 + f(y)
Aqui, f(y) é uma função de integração que pode depender de y. Agora, usamos Ey = -b:
Ey = -partial Vpartial y = -b
Substituindo V(x, y):
-partialpartial y ( -a2 x^2 + f(y) ) = -b partial f(y)partial y = -b
Integrando em relação a y:
f(y) = -b y + C
Onde C é a constante de integração. Agora, substituímos f(y) de volta na expressão de V(x, y):
V(x, y) = -a2 x^2 - b y + C

Passo 4

Agora, usamos a condição de que o potencial elétrico é zero na origem (0,0):
V(0, 0) = -a2 (0)^2 - b (0) + C = 0 C = 0
Portanto, a expressão final para o potencial elétrico é:
V(x, y) = -a2 x^2 - b y

Passo 5

Substituindo os valores de a e b:
V(x, y) = -22 x^2 - 1 cdot y = -x^2 - y
Então, a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto (x, y) é:
V(x, y) = -x^2 - y , V

Resposta

a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto é V(x, y) = -x^2 - y , V.

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