Um campo elétrico é dado por em que e . (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico produzido
em um ponto qualquer, sabendo que ele deve ser zero na origem. (b) Calcule a intensidade do trabalho efetuado pelo campo elétrico para deslocar uma carga do ponto (1,2) até o ponto do plano cartesiano. A localização dos pontos é dada em metro. © Calcule o valor da densidade volumétrica de carga na região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo elétrico dado pela expressão , com e . Precisamos calcular três coisas:
a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, sabendo que é zero na origem.
b) O trabalho feito pelo campo elétrico para mover uma carga de de um ponto para no plano cartesiano.
c) A densidade volumétrica de carga na região.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de física como potencial elétrico, trabalho realizado por campos elétricos e densidade de carga. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto, com a condição de que seja zero na origem.
O potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
No caso bidimensional, isso se traduz em:
Dado que , temos:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de . Agora, usamos :
Substituindo :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, substituímos de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, usamos a condição de que o potencial elétrico é zero na origem :
Portanto, a expressão final para o potencial elétrico é:

Passo 5

Substituindo os valores de e :
Então, a intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto é:

Resposta

a) A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto é .

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