Quando uma bateria de 10 V está sendo carregada, a corrente entrando no terminal positivo varia linearmente de 3 a 9 mA entre
. Que quantidade de carga passa pela bateria durante os 10 primeiros minutos?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos uma bateria de 10 V que está sendo carregada, e a corrente que entra no terminal positivo aumenta de forma linear de 3 mA para 9 mA ao longo de 15 minutos. A pergunta é: qual é a quantidade de carga que passa pela bateria nos primeiros 10 minutos?
Matéria envolvida: Corrente elétrica e carga elétrica.
O que precisamos: Entender como a corrente varia ao longo do tempo e calcular a carga total usando essa variação.
Matéria envolvida: Corrente elétrica e carga elétrica.
O que precisamos: Entender como a corrente varia ao longo do tempo e calcular a carga total usando essa variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a corrente está aumentando de forma linear. Isso significa que a corrente varia de maneira constante ao longo do tempo. Podemos representar essa variação com uma equação linear da forma:
onde:
- $ I(t) $ é a corrente no tempo $ t $,
- $ m $ é a inclinação da reta (taxa de variação da corrente),
- $ b $ é a corrente inicial quando $ t = 0 $.
Passo 3
Sabemos que:
- Quando $ t = 0 $ minutos, $ I = 3 $ mA,
- Quando $ t = 15 $ minutos, $ I = 9 $ mA.
Vamos usar esses dois pontos para encontrar $ m $ e $ b $.
Passo 4
Primeiro, encontramos $ b $ substituindo $ t = 0 $ na equação:
Então, $ b = 3 $ mA.
Passo 5
Agora, usamos o segundo ponto ($ t = 15 $, $ I = 9 $ mA) para encontrar $ m $:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, $ m = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $ mA/min.
Passo 6
Agora, temos a equação que descreve a corrente ao longo do tempo:
Passo 7
Para encontrar a quantidade de carga que passou nos primeiros 10 minutos, precisamos integrar a corrente em relação ao tempo de 0 a 10 minutos:
Passo 8
Substituindo $ I(t) $:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Simplificando:
Passo 10
Avaliando nos limites de 0 a 10:
Resposta
A quantidade de carga que passa pela bateria durante os 10 primeiros minutos é de 50 mC.