Quando uma bateria de 10 V está sendo carregada, a corrente entrando no terminal positivo varia linearmente de 3 a 9 mA entre t=0 e t=15 min. Que quantidade de carga passa pela bateria durante os 10 primeiros minutos?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos uma bateria de 10 V que está sendo carregada, e a corrente que entra no terminal positivo aumenta de forma linear de 3 mA para 9 mA ao longo de 15 minutos. A pergunta é: qual é a quantidade de carga que passa pela bateria nos primeiros 10 minutos?
Matéria envolvida: Corrente elétrica e carga elétrica.
O que precisamos: Entender como a corrente varia ao longo do tempo e calcular a carga total usando essa variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a corrente está aumentando de forma linear. Isso significa que a corrente varia de maneira constante ao longo do tempo. Podemos representar essa variação com uma equação linear da forma:
I(t) = mt + b
onde:
- $ I(t) $ é a corrente no tempo $ t $,
- $ m $ é a inclinação da reta (taxa de variação da corrente),
- $ b $ é a corrente inicial quando $ t = 0 $.

Passo 3

Sabemos que:
  • Quando $ t = 0 $ minutos, $ I = 3 $ mA,
  • Quando $ t = 15 $ minutos, $ I = 9 $ mA.
Vamos usar esses dois pontos para encontrar $ m $ e $ b $.

Passo 4

Primeiro, encontramos $ b $ substituindo $ t = 0 $ na equação:
b
Então, $ b = 3 $ mA.

Passo 5

Agora, usamos o segundo ponto ($ t = 15 $, $ I = 9 $ mA) para encontrar $ m $:
t = 15
Subtraindo 3 de ambos os lados:
I = 9
Então, $ m = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $ mA/min.

Passo 6

Agora, temos a equação que descreve a corrente ao longo do tempo:
I(t) = 25t + 3

Passo 7

Para encontrar a quantidade de carga que passou nos primeiros 10 minutos, precisamos integrar a corrente em relação ao tempo de 0 a 10 minutos:
Q = integral0^10 I(t) , dt

Passo 8

Substituindo $ I(t) $:
I(t)

Passo 9

Vamos calcular a integral:
Q = [ 25 times t^22 + 3t ]0^10
Simplificando:
Q = [ 15t^2 + 3t ]0^10

Passo 10

Avaliando nos limites de 0 a 10:
Q = ( 15(10)^2 + 3(10) ) - ( 15(0)^2 + 3(0) )
Q = ( 1005 + 30 ) - 0
Q = 20 + 30
Q = 50 , mC

Resposta

A quantidade de carga que passa pela bateria durante os 10 primeiros minutos é de 50 mC.

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