O fabricante de uma bateria de lanterna de 6 V afirma que a bateria pode fornecer uma corrente de 15 mA durante 6 h de funcionamento contínuo. Durante este tempo, a tensão cai de 6 V para 4 V linearmente com o tempo. Qual é a energia fornecida pela bateria durante as 6 h?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bateria de lanterna de 6 V que, segundo o fabricante, consegue fornecer uma corrente de 15 mA por 6 horas de funcionamento contínuo. No entanto, durante esse tempo, a tensão da bateria cai de 6 V para 4 V de forma linear. Nosso objetivo aqui é calcular a energia total que a bateria fornece durante essas 6 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade, especificamente relacionados a tensão, corrente e energia elétrica. Vamos também precisar entender como calcular a energia quando a tensão varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a tensão está variando ao longo do tempo. A tensão cai de 6 V para 4 V de maneira linear em 6 horas. Isso significa que a tensão diminui a uma taxa constante.
Podemos modelar essa variação da tensão com a seguinte equação:
Onde:
- $ V(t) $ é a tensão no tempo $ t $,
- $ V_0 $ é a tensão inicial (6 V),
- $ k $ é a constante que representa a taxa de variação da tensão,
- $ t $ é o tempo em horas.
Sabemos que em $ t = 0 $ horas, $ V(0) = 6 $ V, e em $ t = 6 $ horas, $ V(6) = 4 $ V. Vamos usar essas informações para encontrar $ k $.
Substituindo os valores na equação:
Resolvendo para $ k $:
Então, a equação que descreve a tensão no tempo é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a potência fornecida pela bateria ao longo do tempo. A potência elétrica ($ P $) é dada por:
Onde:
- $ I $ é a corrente fornecida pela bateria (15 mA).
Primeiro, precisamos converter a corrente de miliamperes para amperes:
Substituindo na equação da potência:
Passo 4
A energia elétrica ($ E $) fornecida pela bateria é a integral da potência ao longo do tempo:
Substituindo $ P(t) $:
Vamos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Então, avaliando de 0 a 6 horas:
Passo 6
Finalmente, podemos converter a energia de watt-hora (Wh) para joules (J) para uma unidade mais comum de energia:
Então,
Resposta
A energia fornecida pela bateria durante as 6 horas é de 1620 joules.