O fabricante de uma bateria de lanterna de 6 V afirma que a bateria pode fornecer uma corrente de 15 mA durante 6 h de funcionamento contínuo. Durante este tempo, a tensão cai de 6 V para 4 V linearmente com o tempo. Qual é a energia fornecida pela bateria durante as 6 h?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bateria de lanterna de 6 V que, segundo o fabricante, consegue fornecer uma corrente de 15 mA por 6 horas de funcionamento contínuo. No entanto, durante esse tempo, a tensão da bateria cai de 6 V para 4 V de forma linear. Nosso objetivo aqui é calcular a energia total que a bateria fornece durante essas 6 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade, especificamente relacionados a tensão, corrente e energia elétrica. Vamos também precisar entender como calcular a energia quando a tensão varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a tensão está variando ao longo do tempo. A tensão cai de 6 V para 4 V de maneira linear em 6 horas. Isso significa que a tensão diminui a uma taxa constante.
Podemos modelar essa variação da tensão com a seguinte equação:
V(t) = V0 + kt
Onde:
  • $ V(t) $ é a tensão no tempo $ t $,
  • $ V_0 $ é a tensão inicial (6 V),
  • $ k $ é a constante que representa a taxa de variação da tensão,
  • $ t $ é o tempo em horas.
Sabemos que em $ t = 0 $ horas, $ V(0) = 6 $ V, e em $ t = 6 $ horas, $ V(6) = 4 $ V. Vamos usar essas informações para encontrar $ k $.
Substituindo os valores na equação:
V(t)
Resolvendo para $ k $:
t
V0
k
t
Então, a equação que descreve a tensão no tempo é:
t = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência fornecida pela bateria ao longo do tempo. A potência elétrica ($ P $) é dada por:
P
Onde:
  • $ I $ é a corrente fornecida pela bateria (15 mA).
Primeiro, precisamos converter a corrente de miliamperes para amperes:
P(t) = V(t) times I
Substituindo na equação da potência:
I

Passo 4

A energia elétrica ($ E $) fornecida pela bateria é a integral da potência ao longo do tempo:
E
Substituindo $ P(t) $:
E = integral0^6 P(t) , dt
Vamos simplificar a expressão:
P(t)

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral (6 - 13t) dt = 6t - 16t^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Então, avaliando de 0 a 6 horas:
C
E = 0,015 [6(6) - 16(6)^2 - (6(0) - 16(0)^2)]
E = 0,015 [36 - 366]
E = 0,015 [36 - 6]
E = 0,015 times 30

Passo 6

Finalmente, podemos converter a energia de watt-hora (Wh) para joules (J) para uma unidade mais comum de energia:
1 , Wh = 3600 , J
Então,
E = 0,45 times 3600
E = 1620 , J

Resposta

A energia fornecida pela bateria durante as 6 horas é de 1620 joules.

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