Esperança Matemática: Calcule a esperança matemática de uma variável aleatória com distribuição binomial
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a esperança matemática de uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial, específica com $ n = 10 $ tentativas e $ p = 0.5 $ de sucesso em cada tentativa. Basicamente, a gente vai usar conceitos de probabilidade, especialmente sobre a distribuição binomial, e aplicar a fórmula da esperança matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Imagine que você tem 10 vezes para tentar algo, como lançar uma moeda, onde a chance de sucesso (cara) em cada lance é de 50%. A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas.
Passo 3
Agora, sobre a esperança matemática. Isso é basicamente a média que você espera obter se repetisse o experimento muitas vezes. Para uma distribuição binomial, a fórmula da esperança matemática é:
Onde:
- $ E[X] $ é a esperança matemática.
- $ n $ é o número de tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
Resposta
A esperança matemática da variável aleatória é $ E[X] = 5 $.