No Big Brother Brasil, os brothers e sisters precisam racionar a comida, devido a quantidade de comida limitada na xepa. Apesar disso, nas festas as comidas e bebidas são liberadas, o que deixa os participantes animados. Durante a festa, o intervalo de tempo entre dois participantes pegarem algo na mesa de comidas pode ser modelado por uma variável aleatória com distribuição exponencial. Sabe-se que, em média, 40 visitas à mesa de comida acontecem por hora.
Determine um intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhum participante visitar a mesa de comida nesse intervalo seja igual a 0,9 . Lembre-se que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas visitas consecutivas à mesa.
Determine um intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhum participante visitar a mesa de comida nesse intervalo seja igual a 0,9 . Lembre-se que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas visitas consecutivas à mesa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve probabilidade e distribuições exponenciais, aplicado no contexto do Big Brother Brasil. O negócio é calcular um intervalo de tempo onde a chance de ninguém visitar a mesa de comida nesse período é de 90%. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição exponencial e usar a taxa média de visitas fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Ela é utilizada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como as visitas à mesa de comida. A principal característica dessa distribuição é que ela tem uma taxa constante de ocorrências.
Passo 3
A fórmula da distribuição exponencial é:
Aqui:
- $ P(T > t) $ é a probabilidade de que o tempo entre dois eventos seja maior que $ t $.
- $ \lambda $ é a taxa de ocorrências por unidade de tempo.
- $ t $ é o intervalo de tempo que queremos determinar.
Passo 4
No nosso caso, a taxa média de visitas é de 40 por hora. Isso significa que $ \lambda = 40 $ visitas/hora.
Passo 5
Queremos encontrar o intervalo de tempo $ t $ tal que a probabilidade de nenhuma visita ocorrer nesse período seja de 0,9 (ou 90%). Então, colocamos esses valores na fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 7
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos $ t $:
Passo 9
Para facilitar a compreensão, vamos converter horas em minutos:
Passo 10
E, se preferir em segundos:
Resposta
O intervalo de tempo é aproximadamente 0,158 minutos (ou cerca de 9,5 segundos) para que a probabilidade de nenhum participante visitar a mesa de comida nesse período seja de 90%.