No Big Brother Brasil, os brothers e sisters precisam racionar a comida, devido a quantidade de comida limitada na xepa. Apesar disso, nas festas as comidas e bebidas são liberadas, o que deixa os participantes animados. Durante a festa, o intervalo de tempo entre dois participantes pegarem algo na mesa de comidas pode ser modelado por uma variável aleatória com distribuição exponencial. Sabe-se que, em média, 40 visitas à mesa de comida acontecem por hora.
Determine um intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhum participante visitar a mesa de comida nesse intervalo seja igual a 0,9 . Lembre-se que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas visitas consecutivas à mesa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve probabilidade e distribuições exponenciais, aplicado no contexto do Big Brother Brasil. O negócio é calcular um intervalo de tempo onde a chance de ninguém visitar a mesa de comida nesse período é de 90%. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição exponencial e usar a taxa média de visitas fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Ela é utilizada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como as visitas à mesa de comida. A principal característica dessa distribuição é que ela tem uma taxa constante de ocorrências.

Passo 3

A fórmula da distribuição exponencial é:
P(T > t) = e^-lambda t
Aqui:
  • $ P(T > t) $ é a probabilidade de que o tempo entre dois eventos seja maior que $ t $.
  • $ \lambda $ é a taxa de ocorrências por unidade de tempo.
  • $ t $ é o intervalo de tempo que queremos determinar.

Passo 4

No nosso caso, a taxa média de visitas é de 40 por hora. Isso significa que $ \lambda = 40 $ visitas/hora.

Passo 5

Queremos encontrar o intervalo de tempo $ t $ tal que a probabilidade de nenhuma visita ocorrer nesse período seja de 0,9 (ou 90%). Então, colocamos esses valores na fórmula:
t

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
t

Passo 7

Calculando o logaritmo:
ln(0,9) approx -0,10536
Então:
-0,10536 = -40 t

Passo 8

Agora, isolamos $ t $:
t
t = 0,1053640

Passo 9

Para facilitar a compreensão, vamos converter horas em minutos:
0,002634 horas times 60 minutos/hora approx 0,158 minutos

Passo 10

E, se preferir em segundos:
0,158 minutos times 60 segundos/minuto approx 9,5 segundos

Resposta

O intervalo de tempo é aproximadamente 0,158 minutos (ou cerca de 9,5 segundos) para que a probabilidade de nenhum participante visitar a mesa de comida nesse período seja de 90%.

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