Binomial: Um teste possui probabilidade de sucesso p=0.4. Se forem realizados 5 testes independentes, qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 sucessos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos em 5 testes, onde cada teste tem uma chance de sucesso de $ p = 0.4 $. O conteúdo aqui é sobre a distribuição binomial, que é usada para calcular probabilidades de eventos que têm apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) em uma sequência de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único teste.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso em um único teste.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $. No nosso caso, $ n = 5 $ e $ k = 3 $, então:
binomnk

Passo 4

Agora, vamos calcular $ p^k $, que é $ 0.4^3 $:
p^k

Passo 5

Em seguida, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é $ 0.6^{2} $:
(1 - p)^n - k

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula da binomial:
P(X = 3) = 10 times 0.064 times 0.36

Passo 7

Vamos multiplicar os números:
10 times 0.064 = 0.64
0.64 times 0.36 = 0.2304

Resposta

A probabilidade de ocorrerem exatamente 3 sucessos em 5 testes é de $ 0.2304 $ ou 23,04%.

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