Binomial: Um teste possui probabilidade de sucesso
. Se forem realizados 5 testes independentes, qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 sucessos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos em 5 testes, onde cada teste tem uma chance de sucesso de $ p = 0.4 $. O conteúdo aqui é sobre a distribuição binomial, que é usada para calcular probabilidades de eventos que têm apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) em uma sequência de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único teste.
- $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso em um único teste.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $. No nosso caso, $ n = 5 $ e $ k = 3 $, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ p^k $, que é $ 0.4^3 $:
Passo 5
Em seguida, calculamos $ (1 - p)^{n - k} $, que é $ 0.6^{2} $:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na fórmula da binomial:
Passo 7
Vamos multiplicar os números:
Resposta
A probabilidade de ocorrerem exatamente 3 sucessos em 5 testes é de $ 0.2304 $ ou 23,04%.