Uma companhia de abastecimento afirma que o consumo mensal de água, em m^3, por residência, para os domicílios atendidos pelos seus serviços é uma variável aleatória que segue o modelo normal com média mu=10 m^3 e desvio padrão sigma=2 m^3. Para uma amostra aleatória simples de 9 residências atendidas pela companhia, determine a probabilidade de que o consumo médio amostral seja maior do que 12 m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o consumo de água por residências, que segue uma distribuição normal com média mu = 10,m^3 e desvio padrão sigma = 2,m^3. Queremos descobrir a probabilidade de que, em uma amostra de 9 residências, a média do consumo seja maior que 12,m^3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma amostra de tamanho n retirado de uma população com média mu e desvio padrão sigma, a média amostral barX também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma mu, e o desvio padrão é sigma dividido pela raiz quadrada de n. Isso nos ajuda a saber como a média da amostra se comporta.

Passo 3

Vamos calcular a média e o desvio padrão da média amostral:
mubarX = mu = 10,m^3
sigmabarX = sigmaraizn = 2raiz9 = 23 approx 0,6667,m^3

Passo 4

Agora, queremos achar a probabilidade de barX > 12,m^3. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o escore z, que nos diz quantos desvios padrão o valor está acima da média.
z = barX - mubarXsigmabarX = 12 - 100,6667 approx 3

Passo 5

Com o valor de z approx 3, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade de Z > 3. Sabemos que a área à direita de z = 3 na curva normal é muito pequena.
P(Z > 3) approx 0,0013

Resposta

A probabilidade de que o consumo médio amostral seja maior do que 12,m^3 é aproximadamente 0,13%.

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