A distribuição dos comprimentos dos elos de uma corrente de certo tipo de bicicleta é simétrica com média
e variância
. Para que uma corrente se ajuste à bicicleta a mesma deve ter comprimento total entre 58 cm e 61 cm. E qual é a mesma probabilidade para uma corrente com 29 elos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de bicicleta onde cada elo tem um comprimento que, em média, mede 2 cm e uma variação (ou seja, a medida de quão espalhados os comprimentos estão) de 0,01 cm². A gente sabe que para a corrente servir na bicicleta, o comprimento total dela precisa estar entre 58 cm e 61 cm. A pergunta é: qual é a probabilidade de uma corrente com 29 elos ter um comprimento total dentro desse intervalo?
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento total de uma corrente com 29 elos. Como cada elo tem um comprimento médio de 2 cm, o comprimento total esperado (ou seja, a média) será:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância e o desvio padrão do comprimento total. A variância total é a soma das variâncias individuais de cada elo. Como a variância de cada elo é 0,01 cm²:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Assumindo que os comprimentos dos elos são independentes e seguem uma distribuição simétrica (como a normal), podemos usar o Teorema Central do Limite. Isso nos permite aproximar a distribuição do comprimento total da corrente como uma distribuição normal com média 58 cm e desvio padrão de aproximadamente 0,5385 cm.
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de que o comprimento total da corrente esteja entre 58 cm e 61 cm. Em termos de distribuição normal, isso é:
Onde $ X $ é o comprimento total da corrente.
Passo 6
Vamos padronizar essa probabilidade usando a fórmula do escore z:
Para $ X = 58 $ cm:
Para $ X = 61 $ cm:
Passo 7
Usando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que:
Portanto, a probabilidade entre 58 cm e 61 cm é:
Resposta
A probabilidade de uma corrente com 29 elos ter um comprimento total entre 58 cm e 61 cm é aproximadamente 50%.