A distribuição dos comprimentos dos elos de uma corrente de certo tipo de bicicleta é simétrica com média mu=2 cm e variância sigma^2=0,01 cm^2. Para que uma corrente se ajuste à bicicleta a mesma deve ter comprimento total entre 58 cm e 61 cm. E qual é a mesma probabilidade para uma corrente com 29 elos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de bicicleta onde cada elo tem um comprimento que, em média, mede 2 cm e uma variação (ou seja, a medida de quão espalhados os comprimentos estão) de 0,01 cm². A gente sabe que para a corrente servir na bicicleta, o comprimento total dela precisa estar entre 58 cm e 61 cm. A pergunta é: qual é a probabilidade de uma corrente com 29 elos ter um comprimento total dentro desse intervalo?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento total de uma corrente com 29 elos. Como cada elo tem um comprimento médio de 2 cm, o comprimento total esperado (ou seja, a média) será:
Média total = 29 times 2 = 58 , cm é

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância e o desvio padrão do comprimento total. A variância total é a soma das variâncias individuais de cada elo. Como a variância de cada elo é 0,01 cm²:
Variância total = 29 times 0,01 = 0,29 , cm² â²
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio padrão total = raiz0,29 approx 0,5385 , cm ã

Passo 4

Assumindo que os comprimentos dos elos são independentes e seguem uma distribuição simétrica (como a normal), podemos usar o Teorema Central do Limite. Isso nos permite aproximar a distribuição do comprimento total da corrente como uma distribuição normal com média 58 cm e desvio padrão de aproximadamente 0,5385 cm.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que o comprimento total da corrente esteja entre 58 cm e 61 cm. Em termos de distribuição normal, isso é:
P(58 <= X <= 61)
Onde $ X $ é o comprimento total da corrente.

Passo 6

Vamos padronizar essa probabilidade usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Para $ X = 58 $ cm:
X = 58
Para $ X = 61 $ cm:
z1 = 58 - 580,5385 = 0

Passo 7

Usando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que:
P(Z <= 5,566) approx 1
P(Z <= 0) = 0,5
Portanto, a probabilidade entre 58 cm e 61 cm é:
P(58 <= X <= 61) = P(Z <= 5,566) - P(Z <= 0) approx 1 - 0,5 = 0,5

Resposta

A probabilidade de uma corrente com 29 elos ter um comprimento total entre 58 cm e 61 cm é aproximadamente 50%.

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