Um bloco está apoiado sobre um pistão que se move verticalmente com movimento harmônico simples de amplitude igual a 0,40 m. Qual é a frequência máxima para que o bloco e o pistão permaneçam sempre em contato? (0.8 Hz)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um bloco apoiado em um pistão que está se movendo para cima e para baixo de forma harmônica simples, ou seja, com um movimento oscilatório. A amplitude desse movimento é de 0,40 metros. A pergunta é: qual é a frequência máxima que esse pistão pode ter para garantir que o bloco continue sempre em contato com ele?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e forças envolvidas no sistema, como a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição do pistão pode ser descrita pela função:
x(t) = A cdot sin(omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude (0,40 m),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo.
A aceleração máxima que o pistão alcança durante esse movimento é dada por:
A

Passo 3

Para que o bloco permaneça sempre em contato com o pistão, a aceleração máxima do pistão não pode ser menor do que a aceleração da gravidade ($ g \approx 9,8 , m/s^2 $). Se a aceleração do pistão for menor que $ g $, o bloco iria “soltar” no ponto mais alto do movimento. Então, estabelecemos a condição:
g approx 9,8 , m/s^2
g

Passo 4

Agora, queremos encontrar a frequência máxima ($ f_{max} $) que atende a essa condição. Primeiro, vamos isolar $ \omega $:
fmax
Sabemos que a frequência angular ($ \omega omega áàê f $) pela fórmula:
omega >= raizgA
Substituindo na desigualdade:
omega
Agora, isolamos $ f $:
f

Passo 5

Vamos agora calcular os valores:
Dados:
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
  • $ A = 0,40 , m $
Substituindo na fórmula:
g = 9,8 , m/s^2
A = 0,40 , m
fmax = 12pi raiz9,80,40
fmax = 16,283 raiz24,5

Resposta

A frequência máxima é aproximadamente 0,8 Hz.

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