Um bloco está apoiado sobre um pistão que se move verticalmente com movimento harmônico simples de amplitude igual a
. Qual é a frequência máxima para que o bloco e o pistão permaneçam sempre em contato?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um bloco apoiado em um pistão que está se movendo para cima e para baixo de forma harmônica simples, ou seja, com um movimento oscilatório. A amplitude desse movimento é de 0,40 metros. A pergunta é: qual é a frequência máxima que esse pistão pode ter para garantir que o bloco continue sempre em contato com ele?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e forças envolvidas no sistema, como a força da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição do pistão pode ser descrita pela função:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (0,40 m),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ t $ é o tempo.
A aceleração máxima que o pistão alcança durante esse movimento é dada por:
Passo 3
Para que o bloco permaneça sempre em contato com o pistão, a aceleração máxima do pistão não pode ser menor do que a aceleração da gravidade ($ g \approx 9,8 , m/s^2 $). Se a aceleração do pistão for menor que $ g $, o bloco iria “soltar” no ponto mais alto do movimento. Então, estabelecemos a condição:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a frequência máxima ($ f_{max} $) que atende a essa condição. Primeiro, vamos isolar $ \omega $:
Sabemos que a frequência angular ($ \omega
f $) pela fórmula:
Substituindo na desigualdade:
Agora, isolamos $ f $:
Passo 5
Vamos agora calcular os valores:
Dados:
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
- $ A = 0,40 , m $
Substituindo na fórmula:
Resposta
A frequência máxima é aproximadamente 0,8 Hz.