Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
F=-m g rR
onde g é igual a 9,8 m / s^2, m é a massa do corpo, r é a distância ao centro da Terra, e R é o raio da Terra (R=6,37 times 10^6).
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um túnel que atravessa a Terra passando pelo centro. O exercício pergunta quanto tempo um objeto levaria para cair de um lado ao outro desse túnel. Vamos usar conceitos de Física sobre movimento harmônico e gravitação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da força da gravidade no túnel:
F = -m g rR
Aqui, $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, $ m $ é a massa do objeto, $ r $ é a distância do objeto ao centro da Terra, e $ R = 6,37 \times 10^6 , m $ é o raio da Terra.

Passo 3

A força que a Terra exerce sobre o objeto está variando com a distância $ r $, o que caracteriza um movimento harmônico simples (MHS). No MHS, a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, ou seja:
r
Comparando com nossa fórmula de força, percebemos que $ \omega^2 = \frac{g}{R} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \omega $ (a frequência angular):
omega

Passo 5

O período $ T $ de um movimento harmônico é dado por:
T
Substituindo o valor de $ \omega $:
T = 2piomega

Passo 6

Como queremos o tempo para ir de um lado ao outro da Terra, que é metade do período completo:
t = T2 = 50662 approx 2533 , s
Convertendo para minutos:
t approx 253360 approx 42,2 , minutos

Resposta

O objeto levaria aproximadamente 41,8 minutos para chegar do outro lado da Terra através do túnel.

Exercícios relacionados