Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
onde
é igual a
é a massa do corpo,
é a distância ao centro da Terra, e
é o raio da Terra
.
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um túnel que atravessa a Terra passando pelo centro. O exercício pergunta quanto tempo um objeto levaria para cair de um lado ao outro desse túnel. Vamos usar conceitos de Física sobre movimento harmônico e gravitação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da força da gravidade no túnel:
Aqui, $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, $ m $ é a massa do objeto, $ r $ é a distância do objeto ao centro da Terra, e $ R = 6,37 \times 10^6 , m $ é o raio da Terra.
Passo 3
A força que a Terra exerce sobre o objeto está variando com a distância $ r $, o que caracteriza um movimento harmônico simples (MHS). No MHS, a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, ou seja:
Comparando com nossa fórmula de força, percebemos que $ \omega^2 = \frac{g}{R} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \omega $ (a frequência angular):
Passo 5
O período $ T $ de um movimento harmônico é dado por:
Substituindo o valor de $ \omega $:
Passo 6
Como queremos o tempo para ir de um lado ao outro da Terra, que é metade do período completo:
Convertendo para minutos:
Resposta
O objeto levaria aproximadamente 41,8 minutos para chegar do outro lado da Terra através do túnel.