Um bloco de massa 100g é suspenso por uma mola de rigidez 19,6 N/m. O suporte que prende a mola tem um movimento harmônico simples que responde à equação δ = 0,7sen(7t) metros, e t é dado em segundos. O fator de amortecimento c/ccr = 0,7. Determine o ângulo de fase φ’ da vibração forçada.

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um bloco de 100g preso a uma mola de constante elástica 19,6 N/m. O suporte da mola está se movendo de forma harmônica simples, de acordo com de metros, onde t está em segundos. Além disso, o fator de amortecimento zeta = cccr = 0,7. Nosso objetivo é determinar o ângulo de fase phi' da vibração forçada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, vibração forçada e amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa de 100g para quilogramas, já que as unidades do Sistema Internacional (SI) utilizam kg para massa.
m = 100g = 0,1kg

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a frequência natural do sistema ( omega0). A frequência natural é dada pela fórmula:
omega0 = raizkm
Onde:
  • k = 19,6, N/m é a constante da mola.
  • m = 0,1, kg é a massa do bloco.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da frequência natural:
omega0 = raiz19,60,1 = raiz196 = 14, rad/s
Então, a frequência natural do sistema é 14, rad/s.

Passo 5

Sabemos que a frequência do movimento forçado ( omega) está na equação dada:
de
Aqui, 7 é a frequência angular, portanto:
omega = 7, rad/s

Passo 6

Agora, temos o fator de amortecimento zeta = 0,7. Esse fator indica o quanto o sistema está amortecido em relação ao amortecimento crítico ccr.

Passo 7

Para determinar o ângulo de fase phi' da vibração forçada, usamos a seguinte fórmula:
phi' = arctan(2zetaomega0omegaomega0^2 - omega^2)
Essa equação relaciona o ângulo de fase com a frequência natural, a frequência da força externa e o fator de amortecimento.

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
phi' = arctan(2 times 0,7 times 14 times 714^2 - 7^2) = arctan(2 times 0,7 times 14 times 7196 - 49)

Passo 9

Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
2 times 0,7 times 14 times 7 = 2 times 0,7 times 98 = 2 times 68,6 = 137,2
Denominador:
196 - 49 = 147

Passo 10

Agora, substituímos esses valores na função arco-tangente:
phi' = arctan(137,2147) approx arctan(0,9337) approx 43,2^circ

Resposta

O ângulo de fase phi' da vibração forçada é aproximadamente 43,2^circ.

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