Um bloco de massa M encontra-se apoiado sobre uma superfície horizontal. A superfície é então gradativamente inclinada, formando um ângulo theta com a direção horizontal. Considere que a aceleração da gravidade vale g e que os coeficientes de atrito estático e cinético valem mue e muc, respectivamente.
Mostre que o ângulo entre a direção da força normal sobre o bloco e a força peso do bloco é igual ao ângulo theta do plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de massa $ M $ apoiado em uma superfície que vai inclinando aos poucos, formando um ângulo $ \theta $ com a horizontal. A nossa missão aqui é mostrar que o ângulo entre a força normal que a superfície exerce sobre o bloco e a força peso do bloco é igual ao ângulo $ \theta $ do plano inclinado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças em planos inclinados e como elas se relacionam. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Tem a força peso ($ \vec{P} P ç \vec{N} $), que é a força que a superfície exerce perpendicularmente ao plano inclinado, e as forças de atrito, mas como o foco aqui é o ângulo entre $ \vec{N} $ e $ \vec{P} $, vamos focar nessas duas primeiras forças.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de forças. Imagine o bloco no plano inclinado formando o ângulo $ \theta theta ç \vec{P} P ç \vec{N} $) é perpendicular à superfície do plano inclinado. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre $ \vec{P} $ e $ \vec{N} $.

Passo 4

Para encontrar esse ângulo, vamos decompor a força peso em duas componentes: uma paralela ao plano ($ P_{\parallel} Pparal<=l P_{\perp} $). A componente paralela é responsável por puxar o bloco para baixo do plano, e a perpendicular é contrabalançada pela força normal.

Passo 5

Usando trigonometria, sabemos que:
Pperp = P cdot cos(theta) = M cdot g cdot cos(theta)
Pparal<=l = P cdot sin(theta) = M cdot g cdot sin(theta)
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Agora, percebemos que a força normal $ \vec{N} $ é igual em magnitude a $ P_{\perp} $ (em equilíbrio, sem movimento perpendicular). Então:
N
Isso mostra como $ \vec{N} $ está relacionado com a componente perpendicular da força peso.

Passo 7

Para encontrar o ângulo entre $ \vec{N} $ e $ \vec{P} $, vamos considerar que $ \vec{N} $ está perpendicular ao plano inclinado, que está inclinado em $ \theta $ em relação à horizontal. A força peso $ \vec{P} $ está vertical, então o ângulo entre elas será exatamente o mesmo ângulo $ \theta $ do plano.

Passo 8

Outra maneira de ver isso é observar que a componente perpendicular $ P_{\perp} $ está alinhada com $ \vec{N} $, e a componente paralela $ P_{\parallel} $ está alinhada com a direção do plano. Isso cria um triângulo retângulo onde o ângulo entre $ \vec{P} $ e $ \vec{N} $ é $ \theta $.

Resposta

Então, mostramos que o ângulo entre a força normal ($ \vec{N} N ç \vec{P} $) é igual ao ângulo $ \theta $ do plano inclinado.

Exercícios relacionados