Um bloco de massa
encontra-se apoiado sobre uma superfície horizontal. A superfície é então gradativamente inclinada, formando um ângulo
com a direção horizontal. Considere que a aceleração da gravidade vale
e que os coeficientes de atrito estático e cinético valem
e
, respectivamente.
Mostre que na iminência de deslizar (ou seja, imediatamente antes de deslizar), o ângulo do plano inclinado vale
e é dado pela seguinte relação:
. Descreva todas as passagens dos seus cálculos.
Mostre que na iminência de deslizar (ou seja, imediatamente antes de deslizar), o ângulo do plano inclinado vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bloco com massa
apoiado em uma superfície horizontal que vai sendo inclinada lentamente até formar um ângulo
com a horizontal. A gente quer descobrir qual é esse ângulo crítico, chamado de
, onde o bloco está prestes a deslizar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, atrito estático e as leis básicas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no bloco. Quando a superfície está inclinada, a gravidade
atua para baixo, mas essa força pode ser dividida em duas componentes: uma paralela à inclinação e outra perpendicular a ela.
Passo 3
Vamos decompor a força da gravidade:
- A componente paralela é
, que puxa o bloco para baixo ao longo da inclinação. - A componente perpendicular é
, que empurra o bloco contra a superfície inclinada.
Passo 4
O atrito estático é a força que impede o bloco de deslizar. Ele é dado por
, onde
é a força normal. Nesse caso, como o bloco está em repouso, a força normal
é igual à componente perpendicular da gravidade, ou seja,
.
Passo 5
Então, substituindo a força normal na expressão do atrito estático, temos:
Passo 6
No instante em que o bloco está prestes a deslizar, a força paralela da gravidade iguala exatamente a força de atrito estático máxima. Portanto, podemos igualar as duas forças:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a equação. Note que
aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 8
Para encontrar
, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto, o ângulo crítico
na iminência de deslizar satisfaz a relação
.