Um bloco de massa M encontra-se apoiado sobre uma superfície horizontal. A superfície é então gradativamente inclinada, formando um ângulo theta com a direção horizontal. Considere que a aceleração da gravidade vale g e que os coeficientes de atrito estático e cinético valem mue e muc, respectivamente.
Mostre que na iminência de deslizar (ou seja, imediatamente antes de deslizar), o ângulo do plano inclinado vale thetac e é dado pela seguinte relação: tan thetac=mue. Descreva todas as passagens dos seus cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco com massa M apoiado em uma superfície horizontal que vai sendo inclinada lentamente até formar um ângulo theta com a horizontal. A gente quer descobrir qual é esse ângulo crítico, chamado de thetac, onde o bloco está prestes a deslizar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, atrito estático e as leis básicas da física.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no bloco. Quando a superfície está inclinada, a gravidade g atua para baixo, mas essa força pode ser dividida em duas componentes: uma paralela à inclinação e outra perpendicular a ela.

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade:
  • A componente paralela é Mg sin theta, que puxa o bloco para baixo ao longo da inclinação.
  • A componente perpendicular é Mg cos theta, que empurra o bloco contra a superfície inclinada.

Passo 4

O atrito estático é a força que impede o bloco de deslizar. Ele é dado por fatrito = mue cdot N, onde N é a força normal. Nesse caso, como o bloco está em repouso, a força normal N é igual à componente perpendicular da gravidade, ou seja, N = Mg cos theta.

Passo 5

Então, substituindo a força normal na expressão do atrito estático, temos:
fatrito = mue cdot Mg cos theta

Passo 6

No instante em que o bloco está prestes a deslizar, a força paralela da gravidade iguala exatamente a força de atrito estático máxima. Portanto, podemos igualar as duas forças:
Mg sin thetac = mue cdot Mg cos thetac

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação. Note que Mg aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
sin thetac = mue cos thetac

Passo 8

Para encontrar thetac, vamos dividir ambos os lados da equação por cos thetac:
sin thetaccos thetac = mue

Passo 9

Lembrando que sin thetacos theta = tan theta, temos:
tan thetac = mue

Resposta

Portanto, o ângulo crítico thetac na iminência de deslizar satisfaz a relação tan thetac = mue.

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