Um bloco de massa
se move em um plano inclinado indo em direção a um loop de raio
, conforme figura ao lado. Despreze o atrito, e considere que o bloco sai de uma altura inicial
com velocidade inicial
. Considere também que o bloco é bem pequeno (partícula pontual).
Considerando essa altura mínima do item anterior, qual a força normal (módulo, direção e sentido) no ponto B (que está na mesma altura que o centro do loop)? Escreva o módulo em termos de
e
.
Considerando essa altura mínima do item anterior, qual a força normal (módulo, direção e sentido) no ponto B (que está na mesma altura que o centro do loop)? Escreva o módulo em termos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco com massa $ m $ que desce um plano inclinado sem atrito e chega num loop de raio $ R $. O bloco começa de uma altura $ h $ com uma velocidade inicial $ v_0 $. A pergunta é: qual é a força normal exercida sobre o bloco no ponto B, que está na mesma altura do centro do loop. Vamos precisar usar conservação de energia e movimento circular pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação de energia. A energia total do bloco no início (na altura $ h $) é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética:
No ponto B, a altura é a mesma do centro do loop, então a energia potencial é $ mgR $ e a energia cinética é $ \frac{1}{2}mv_B^2 $. Pela conservação de energia:
Passo 3
Agora, vamos resolver para a velocidade $ v_B $ no ponto B:
Primeiro, cancelamos o $ m $ nas duas partes da equação:
Isolando $ v_B^2 $:
Multiplicando tudo por 2:
Então,
Passo 4
Agora, vamos pensar no movimento circular no ponto B. A força normal $ N $ mais o peso $ mg $ devem fornecer a força centrípeta necessária para manter o bloco na trajetória circular:
Queremos encontrar $ N $, então isolamos ela:
Substituindo $ v_B^2 $ que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A força normal no ponto B é: