Mostre que ao trocar duas linhas (ou duas colunas) de um determinante de uma matriz o determinante troca de sinal. Confira seu resultado calculando da forma tradicional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a gente trocar duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz , o valor do determinante muda de sinal. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes. Também vamos calcular pela forma tradicional pra conferir se tá tudo certo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra da expansão por cofatores.
Passo 3
Agora, vamos focar na propriedade que ao trocar duas linhas ou colunas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Isso significa que se for o determinante da matriz original , e for a matriz com duas linhas (ou colunas) trocadas, então .
Passo 4
Para provar isso, vamos considerar uma matriz genérica :
O determinante de A é calculado como:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Passo 5
Agora, vamos trocar as duas primeiras linhas da matriz A, formando uma nova matriz B:
B = d & e & f a & b & c g & h & i
Vamos calcular det(B) usando a mesma fórmula:
det(B) = d(bi - ch) - e(ai - cg) + f(ah - bg)
Passo 6
Vamos comparar det(A) e det(B). Observamos que cada termo de det(B) é igual ao termo correspondente de det(A), mas com sinal invertido:
Viu só? det(A) = 1 e det(B) = -1, confirmando que ao trocar duas linhas, o determinante mudou de sinal.
Resposta
Assim, demonstramos que trocar duas linhas (ou colunas) de uma matriz 3 times 3 faz com que o determinante mude de sinal, e isso foi confirmado com o cálculo de D3 de forma tradicional.