Mostre que ao trocar duas linhas (ou duas colunas) de um determinante de uma matriz 3 times 3 o determinante troca de sinal. Confira seu resultado calculando D3 da forma tradicional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a gente trocar duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz 3 times 3, o valor do determinante muda de sinal. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes. Também vamos calcular D3 pela forma tradicional pra conferir se tá tudo certo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para uma matriz 3 times 3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra da expansão por cofatores.

Passo 3

Agora, vamos focar na propriedade que ao trocar duas linhas ou colunas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Isso significa que se det(A) for o determinante da matriz original A, e B for a matriz com duas linhas (ou colunas) trocadas, então det(B) = -det(A).

Passo 4

Para provar isso, vamos considerar uma matriz A genérica 3 times 3:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de A é calculado como:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Passo 5

Agora, vamos trocar as duas primeiras linhas da matriz A, formando uma nova matriz B:
B = d & e & f a & b & c g & h & i
Vamos calcular det(B) usando a mesma fórmula:
det(B) = d(bi - ch) - e(ai - cg) + f(ah - bg)

Passo 6

Vamos comparar det(A) e det(B). Observamos que cada termo de det(B) é igual ao termo correspondente de det(A), mas com sinal invertido:
det(B) = -(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)) = -det(A)
Isso mostra que ao trocar duas linhas, o determinante realmente troca de sinal.

Passo 7

Para conferir, vamos calcular um exemplo concreto. Considere a matriz:
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0
Calculando det(A):
det(A) = 1(1 cdot 0 - 4 cdot 6) - 2(0 cdot 0 - 4 cdot 5) + 3(0 cdot 6 - 1 cdot 5) = 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5) = -24 + 40 - 15 = 1

Passo 8

Agora, trocando as duas primeiras linhas para formar B:
B = 0 & 1 & 4 1 & 2 & 3 5 & 6 & 0
Calculando det(B):
det(B) = 0(2 cdot 0 - 3 cdot 6) - 1(1 cdot 0 - 3 cdot 5) + 4(1 cdot 6 - 2 cdot 5) = 0(-18) - 1(0 - 15) + 4(6 - 10) = 0 + 15 - 16 = -1

Passo 9

Viu só? det(A) = 1 e det(B) = -1, confirmando que ao trocar duas linhas, o determinante mudou de sinal.

Resposta

Assim, demonstramos que trocar duas linhas (ou colunas) de uma matriz 3 times 3 faz com que o determinante mude de sinal, e isso foi confirmado com o cálculo de D3 de forma tradicional.

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