Em uma região plana, um projétil de 1,50 kg é disparado diretamente para cima com velocidade inicial de 30 m / s. Ele explode no pico de sua trajetória, partindo-se em três partes de massas diferentes. Em relação ao ponto de lançamento, uma parte de 0,75 kg cai no solo a 120 m ao norte, e a outra parte, de 0,25 kg, cai a 80 m ao leste. Onde cairá a terceira parte?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um projétil de 1,50,kg que é disparado diretamente para cima com uma velocidade inicial de 30,m/s. No ponto mais alto da trajetória, ele explode em três pedaços com massas diferentes. Sabemos onde dois desses pedaços caem: um de 0,75,kg cai a 120,m ao norte e outro de 0,25,kg cai a 80,m a leste. Precisamos descobrir onde vai cair o terceiro pedaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática para encontrar o tempo de queda e conservação do momento linear para determinar a direção e distância do terceiro pedaço.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura máxima que o projétil alcança. Quando o projétil atinge o pico, sua velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula da altura máxima:
h = v0^22g
Onde:
  • v0 = 30,m/s (velocidade inicial)
  • g = 9,8,m/s^2 (aceleração da gravidade)
Calculando:
h = 30^22 times 9,8 = 90019,6 approx 45,92,m

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que cada pedaço leva para cair do ponto de explosão até o chão. Usamos a fórmula do tempo de queda livre:
t = raiz2hg
Substituindo os valores:
t = raiz2 times 45,929,8 = raiz91,849,8 approx raiz9,38 approx 3,06,s
Então, cada pedaço leva aproximadamente 3,06 segundos para cair.

Passo 4

Vamos encontrar as velocidades horizontais dos dois pedaços conhecidos. Sabemos que:
  • Pedaço de 0,75,kg cai 120,m ao norte.
  • Pedaço de 0,25,kg cai 80,m a leste.
As velocidades horizontais ( v) são dadas por:
v = dt
Calculando para cada pedaço:
Para o norte:
vN = 1203,06 approx 39,22,m/s
Para o leste:
vL = 803,06 approx 26,14,m/s

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação do momento linear. Como não há forças externas na direção horizontal, o momento total antes da explosão é igual ao momento total após.
Antes da explosão, o projétil tinha apenas movimento vertical, então o momento horizontal era zero. Após a explosão:
m1vN + m2vL + m3v3 = 0
Onde:
  • m1 = 0,75,kg
  • m2 = 0,25,kg
  • m3 = 1,50 - 0,75 - 0,25 = 0,50,kg
  • v3 é a velocidade do terceiro pedaço (que tem componentes em leste e norte)
Separando nas direções:
Para o norte:
m1vN + m3v3y = 0 Rightarrow 0,75 times 39,22 + 0,50 times v3y = 0
29,416 + 0,50v3y = 0 Rightarrow v3y = -29,4160,50 = -58,832,m/s
Para o leste:
m2vL + m3v3x = 0 Rightarrow 0,25 times 26,14 + 0,50 times v3x = 0
6,535 + 0,50v3x = 0 Rightarrow v3x = -6,5350,50 = -13,07,m/s

Passo 6

Com as velocidades do terceiro pedaço nas direções leste e norte, podemos encontrar a distância que ele vai percorrer:
d3x = v3x times t = -13,07 times 3,06 approx -40,00,m
d3y = v3y times t = -58,832 times 3,06 approx -180,00,m
Os sinais negativos indicam que o pedaço está se movendo para o oeste e sul, respectivamente.

Passo 7

Agora, vamos determinar onde o terceiro pedaço vai cair em relação ao ponto de explosão:
  • d3x approx -40,00,m (40 metros a oeste)
  • d3y approx -180,00,m (180 metros ao sul)
Para encontrar a direção total, usamos o teorema de Pitágoras:
d = raizd3x^2 + d3y^2 = raiz40^2 + 180^2 = raiz1600 + 32400 = raiz34000 approx 184,39,m
E o ângulo em relação ao oeste:
theta = arctan(18040) = arctan(4,5) approx 77,47^circ
Então, o terceiro pedaço cai a aproximadamente 184,39,m na direção 77,47^circ ao sul do oeste.

Resposta

O terceiro pedaço cairá aproximadamente 184,4,m a 77,5^circ ao sul do oeste em relação ao ponto de explosão.

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