Em uma região plana, um projétil de
é disparado diretamente para cima com velocidade inicial de
. Ele explode no pico de sua trajetória, partindo-se em três partes de massas diferentes. Em relação ao ponto de lançamento, uma parte de 0,75 kg cai no solo a 120 m ao norte, e a outra parte, de
, cai a 80 m ao leste. Onde cairá a terceira parte?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um projétil de
que é disparado diretamente para cima com uma velocidade inicial de
. No ponto mais alto da trajetória, ele explode em três pedaços com massas diferentes. Sabemos onde dois desses pedaços caem: um de
cai a
ao norte e outro de
cai a
a leste. Precisamos descobrir onde vai cair o terceiro pedaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática para encontrar o tempo de queda e conservação do momento linear para determinar a direção e distância do terceiro pedaço.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a altura máxima que o projétil alcança. Quando o projétil atinge o pico, sua velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula da altura máxima:
Onde:
-
(velocidade inicial) -
(aceleração da gravidade)
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo que cada pedaço leva para cair do ponto de explosão até o chão. Usamos a fórmula do tempo de queda livre:
Substituindo os valores:
Então, cada pedaço leva aproximadamente
segundos para cair.
Passo 4
Vamos encontrar as velocidades horizontais dos dois pedaços conhecidos. Sabemos que:
- Pedaço de
cai ao norte. - Pedaço de
cai a leste.
As velocidades horizontais (
) são dadas por:
Calculando para cada pedaço:
Para o norte:
Para o leste:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação do momento linear. Como não há forças externas na direção horizontal, o momento total antes da explosão é igual ao momento total após.
Antes da explosão, o projétil tinha apenas movimento vertical, então o momento horizontal era zero. Após a explosão:
Onde:
-
-
-
-
é a velocidade do terceiro pedaço (que tem componentes em leste e norte)
Separando nas direções:
Para o norte:
Para o leste:
Passo 6
Com as velocidades do terceiro pedaço nas direções leste e norte, podemos encontrar a distância que ele vai percorrer:
Os sinais negativos indicam que o pedaço está se movendo para o oeste e sul, respectivamente.
Passo 7
Agora, vamos determinar onde o terceiro pedaço vai cair em relação ao ponto de explosão:
-
(40 metros a oeste) -
(180 metros ao sul)
Para encontrar a direção total, usamos o teorema de Pitágoras:
E o ângulo em relação ao oeste:
Então, o terceiro pedaço cai a aproximadamente
na direção
ao sul do oeste.
Resposta
O terceiro pedaço cairá aproximadamente
a
ao sul do oeste em relação ao ponto de explosão.