Uma bobina com a resistência de 8,0 Omega e auto-indutância de 4,0 H éligada subitamente a uma fonte de diferença de potencial constante de 100 V . Seja t=0 o instante da ligação, quando a corrente é nula. Achar a corrente I e a sua taxa de variação d I / d t nos instantes (a) t=0, (b) t= 0,1 s,(c) t=0,5 s e(d) t=1,0 s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletromagnetismo que envolve uma bobina com resistência elétrica e auto-indutância. Precisamos encontrar a corrente elétrica e sua taxa de variação em diferentes instantes de tempo após a ligação da bobina a uma fonte de tensão constante. Para isso, vamos utilizar as leis de Kirchhoff e a equação que relaciona a tensão, a resistência e a auto-indutância em um circuito RL.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação básica em um circuito RL (resistor-indutor). Quando uma fonte de tensão V = IR + L dIdt é ligada a uma bobina com resistência e indutância , a tensão na bobina é dada pela soma das quedas de tensão no resistor e no indutor:
Aqui:
  • é a tensão da fonte (100 V),
  • é a resistência (8 Ω),
  • é a indutância (4 H),
  • é a corrente no circuito,
  • é a taxa de variação da corrente em relação ao tempo.

Passo 3

Rearranjando a equação para encontrar dIdt = V - IRL :
Essa equação nos permite calcular a taxa de variação da corrente em qualquer instante de tempo, desde que conheçamos a corrente nesse instante.

Passo 4

Para encontrar a corrente V = IR + L dIdt , precisamos resolver a equação diferencial:
I(t) = VR (1 - e^-RLt)
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando métodos padrão. A solução geral para a corrente em um circuito RL ligado a uma fonte de tensão constante é:
Onde é a base do logaritmo natural.

Passo 5

Agora, vamos calcular a corrente tau = 48 = 0,5 , s e sua taxa de variação nos instantes de tempo solicitados:
Dados:
Primeiro, calculamos a constante de tempo :

Passo 6

Agora, calculamos a corrente I(t) = 1008 (1 - e^-84t) = 12,5 (1 - e^-2t) , A :
dIdt = 100 - 8I4 = 25 - 2I , A/s
E a taxa de variação da corrente:

Passo 7

Vamos calcular para cada instante solicitado:
a) I(0) = 12,5 (1 - e^0) = 12,5 times 0 = 0 , A :
dIdtg|t=0 = 25 - 2 times 0 = 25 , A/s
I(0,1) = 12,5 (1 - e^-0,2) approx 12,5 (1 - 0,8187) approx 12,5 times 0,1813 approx 2,266 , A
b) dIdtg|t=0,1 = 25 - 2 times 2,266 approx 25 - 4,532 approx 20,468 , A/s :
I(0,5) = 12,5 (1 - e^-1) approx 12,5 (1 - 0,3679) approx 12,5 times 0,6321 approx 7,901 , A
dIdtg|t=0,5 = 25 - 2 times 7,901 approx 25 - 15,802 approx 9,198 , A/s
c) I(1,0) = 12,5 (1 - e^-2) approx 12,5 (1 - 0,1353) approx 12,5 times 0,8647 approx 10,81 , A :
dIdtg|t=1,0 = 25 - 2 times 10,81 approx 25 - 21,62 approx 3,38 , A/s
d) :

Resposta

As correntes I = 0 , A, dIdt = 25 , A/s e suas taxas de variação I approx 2,27 , A, dIdt approx 20,47 , A/s nos instantes solicitados são:
a) Em I approx 7,90 , A, dIdt approx 9,20 , A/s :
I approx 10,81 , A, dIdt approx 3,38 , A/s
b) Em :
c) Em :
d) Em :

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