Uma bobina com a resistência de e auto-indutância de éligada subitamente a uma fonte de diferença de potencial constante de 100 V . Seja o instante da ligação, quando a corrente é nula. Achar a corrente e a sua taxa de variação nos instantes (a) , (b) .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletromagnetismo que envolve uma bobina com resistência elétrica e auto-indutância. Precisamos encontrar a corrente elétrica e sua taxa de variação em diferentes instantes de tempo após a ligação da bobina a uma fonte de tensão constante. Para isso, vamos utilizar as leis de Kirchhoff e a equação que relaciona a tensão, a resistência e a auto-indutância em um circuito RL.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação básica em um circuito RL (resistor-indutor). Quando uma fonte de tensão é ligada a uma bobina com resistência e indutância , a tensão na bobina é dada pela soma das quedas de tensão no resistor e no indutor:
Aqui:
é a tensão da fonte (100 V),
é a resistência (8 Ω),
é a indutância (4 H),
é a corrente no circuito,
é a taxa de variação da corrente em relação ao tempo.
Passo 3
Rearranjando a equação para encontrar :
Essa equação nos permite calcular a taxa de variação da corrente em qualquer instante de tempo, desde que conheçamos a corrente nesse instante.
Passo 4
Para encontrar a corrente , precisamos resolver a equação diferencial:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando métodos padrão. A solução geral para a corrente em um circuito RL ligado a uma fonte de tensão constante é:
Onde é a base do logaritmo natural.
Passo 5
Agora, vamos calcular a corrente e sua taxa de variação nos instantes de tempo solicitados:
Dados:
Primeiro, calculamos a constante de tempo :
Passo 6
Agora, calculamos a corrente :
E a taxa de variação da corrente:
Passo 7
Vamos calcular para cada instante solicitado:
a) :
b) :
c) :
d) :
Resposta
As correntes e suas taxas de variação nos instantes solicitados são: