Uma boia de medição de parâmetros oceanográficos está ancorada ao fundo marinho por cabos. A boia é submetida a três forças: a força
da corrente marítima
que exerce uma pressão horizontal sobre a boia, a força da gravidade
devido ao peso da boia, e a força de tensão no cabo
que mantém a boia fixada. O sistema de equilibrio é dado pelas equações:
O sistema de forças e momentos possui solução única? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma boia ancorada no fundo do mar, e ela está sendo afetada por três forças:
- Força da corrente marítima (
): Pressão horizontal na boia. - Força da gravidade (
): Devido ao peso da boia. - Força de tensão no cabo (
): Mantém a boia fixa no lugar.
O sistema de equilíbrio dessas forças é representado pelas seguintes equações:
A pergunta é: Esse sistema de forças possui uma solução única? Vamos descobrir usando conceitos de álgebra linear e sistemas de equações!
Passo 2
Vamos começar simplificando as equações para ver se conseguimos encontrar valores para
,
e
.
Segunda Equação:
Observe que
cancela e sobra:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 3
Terceira Equação:
Novamente,
cancela, resultando em:
Dividindo ambos os lados por 7:
Notamos que ambas as equações nos dão
. Isso já nos dá uma informação importante.
Passo 4
Agora, vamos usar o valor de
na Primeira Equação:
Substituindo
:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Agora, o que temos até aqui:
Isso significa que sabemos que a força da corrente marítima é 1000 N, e a força de tensão no cabo é igual à força da gravidade. Porém, não temos mais equações para determinar valores específicos para
e
. Elas podem ser quaisquer valores que satisfaçam
.
Passo 6
Para verificar se o sistema tem uma solução única, precisamos que o número de equações independentes seja igual ao número de incógnitas. Aqui, temos 3 equações, mas efetivamente apenas 2 são independentes (as outras duas simplificam para
).
Como há mais incógnitas do que equações independentes, o sistema possui infinitas soluções, todas elas onde
é igual a
e
é 1000 N.
Resposta
Não, o sistema de forças não possui uma solução única. Ele tem infinitas soluções onde
N e
é igual a
.