Uma boia de medição de parâmetros oceanográficos está ancorada ao fundo marinho por cabos. A boia é submetida a três forças: a força (N) da corrente marítima (F1) que exerce uma pressão horizontal sobre a boia, a força da gravidade (F2) devido ao peso da boia, e a força de tensão no cabo (F3) que mantém a boia fixada. O sistema de equilibrio é dado pelas equações:
c F1-F2+F3=1000 3 F1-3 F3+3 F3=3000 7 F1-7 F3+7 F3=7000
O sistema de forças e momentos possui solução única? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma boia ancorada no fundo do mar, e ela está sendo afetada por três forças:
  1. Força da corrente marítima ( F1): Pressão horizontal na boia.
  2. Força da gravidade ( F2): Devido ao peso da boia.
  3. Força de tensão no cabo ( F3): Mantém a boia fixa no lugar.
O sistema de equilíbrio dessas forças é representado pelas seguintes equações:
c F1 - F2 + F3 = 1000 3 F1 - 3 F3 + 3 F3 = 3000 7 F1 - 7 F3 + 7 F3 = 7000
A pergunta é: Esse sistema de forças possui uma solução única? Vamos descobrir usando conceitos de álgebra linear e sistemas de equações!

Passo 2

Vamos começar simplificando as equações para ver se conseguimos encontrar valores para F1, F2 e F3.
Segunda Equação:
3 F1 - 3 F3 + 3 F3 = 3000
Observe que -3 F3 + 3 F3 cancela e sobra:
3 F1 = 3000
Dividindo ambos os lados por 3:
F1 = 1000

Passo 3

Terceira Equação:
7 F1 - 7 F3 + 7 F3 = 7000
Novamente, -7 F3 + 7 F3 cancela, resultando em:
7 F1 = 7000
Dividindo ambos os lados por 7:
F1 = 1000
Notamos que ambas as equações nos dão F1 = 1000. Isso já nos dá uma informação importante.

Passo 4

Agora, vamos usar o valor de F1 na Primeira Equação:
F1 - F2 + F3 = 1000
Substituindo F1 = 1000:
1000 - F2 + F3 = 1000
Simplificando:
- F2 + F3 = 0
Ou seja:
F3 = F2

Passo 5

Agora, o que temos até aqui:
  1. F1 = 1000
  2. F3 = F2
Isso significa que sabemos que a força da corrente marítima é 1000 N, e a força de tensão no cabo é igual à força da gravidade. Porém, não temos mais equações para determinar valores específicos para F2 e F3. Elas podem ser quaisquer valores que satisfaçam F3 = F2.

Passo 6

Para verificar se o sistema tem uma solução única, precisamos que o número de equações independentes seja igual ao número de incógnitas. Aqui, temos 3 equações, mas efetivamente apenas 2 são independentes (as outras duas simplificam para F1 = 1000).
Como há mais incógnitas do que equações independentes, o sistema possui infinitas soluções, todas elas onde F3 é igual a F2 e F1 é 1000 N.

Resposta

Não, o sistema de forças não possui uma solução única. Ele tem infinitas soluções onde F1 = 1000 N e F3 é igual a F2.

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