Um engenheiro está projetando um sistema de distribuição de água para três tanques †tA interligados em uma estação de tratamento. Para garantir o equilíbrio hidráulico e o correto funcionamento do sistema, é necessário determinar as pressões P1, P2, P3(e m kPa) em três pontos principais da rede. As pressões nos pontos estão relacionadas pelas seguintes equações:
c 3 P1+P2-P3=800 2 P1-4 P2+P1=-100 -P1+2 P2+5 P3=1200
(pressão no primeiro tanque)
(pressão no segundo tanque)
(pressão no terceiro tanque)
Escreva o sistema na forma matricial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um engenheiro que está projetando um sistema de distribuição de água com três tanques interligados. Para garantir que tudo funcione direitinho, ele precisa descobrir as pressões $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ em três pontos diferentes da rede. As pressões estão relacionadas por três equações. O conteúdo que vamos usar aqui é matrizes e sistemas lineares. Precisamos organizar essas equações em um formato matricial para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das incógnitas $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ em cada equação. Olhando para as equações:
  1. $ 3P_{1} + P_{2} - P_{3} = 800 $
  2. $ 2P_{1} - 4P_{2} + P_{1} = -100 $ (Aqui, somamos os termos de $ P_{1} $)
  3. $ -P_{1} + 2P_{2} + 5P_{3} = 1200 $
Na segunda equação, temos $ 2P_{1} + P_{1} = 3P_{1} $. Então, as equações ficam:
  1. $ 3P_{1} + 1P_{2} - 1P_{3} = 800 $
  2. $ 3P_{1} - 4P_{2} + 0P_{3} = -100 $ (Como não tem $ P_{3} $, o coeficiente é 0)
  3. $ -1P_{1} + 2P_{2} + 5P_{3} = 1200 $

Passo 3

Agora, vamos organizar os coeficientes dessas incógnitas em uma matriz. A matriz dos coeficientes $ A $ ficará assim:
A
Cada linha da matriz corresponde a uma das equações e cada coluna a uma das incógnitas $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $.

Passo 4

Em seguida, criamos o vetor das incógnitas $ \mathbf{P} $ e o vetor dos resultados $ \mathbf{b} $:
P

Passo 5

Finalmente, juntamos tudo para escrever o sistema na forma matricial $ A\mathbf{P} = \mathbf{b} $:

$$
AP = b
3 & 1 & -1 3 & -4 & 0 -1 & 2 & 5 P1 P2 P3 = 800 -100 1200

$$

Resposta

O sistema na forma matricial é:

$$
3 & 1 & -1 3 & -4 & 0 -1 & 2 & 5 P1 P2 P3 = 800 -100 1200

$$

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