Um engenheiro está projetando um sistema de distribuição de água para três tanques †tA interligados em uma estação de tratamento. Para garantir o equilíbrio hidráulico e o correto funcionamento do sistema, é necessário determinar as pressões em três pontos principais da rede. As pressões nos pontos estão relacionadas pelas seguintes equações:
(pressão no primeiro tanque)
(pressão no segundo tanque)
(pressão no terceiro tanque)
Escreva o sistema na forma matricial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um engenheiro que está projetando um sistema de distribuição de água com três tanques interligados. Para garantir que tudo funcione direitinho, ele precisa descobrir as pressões $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ em três pontos diferentes da rede. As pressões estão relacionadas por três equações. O conteúdo que vamos usar aqui é matrizes e sistemas lineares. Precisamos organizar essas equações em um formato matricial para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das incógnitas $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ em cada equação. Olhando para as equações:
$ 3P_{1} + P_{2} - P_{3} = 800 $
$ 2P_{1} - 4P_{2} + P_{1} = -100 $ (Aqui, somamos os termos de $ P_{1} $)
$ -P_{1} + 2P_{2} + 5P_{3} = 1200 $
Na segunda equação, temos $ 2P_{1} + P_{1} = 3P_{1} $. Então, as equações ficam:
$ 3P_{1} + 1P_{2} - 1P_{3} = 800 $
$ 3P_{1} - 4P_{2} + 0P_{3} = -100 $ (Como não tem $ P_{3} $, o coeficiente é 0)
$ -1P_{1} + 2P_{2} + 5P_{3} = 1200 $
Passo 3
Agora, vamos organizar os coeficientes dessas incógnitas em uma matriz. A matriz dos coeficientes $ A $ ficará assim:
Cada linha da matriz corresponde a uma das equações e cada coluna a uma das incógnitas $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $.
Passo 4
Em seguida, criamos o vetor das incógnitas $ \mathbf{P} $ e o vetor dos resultados $ \mathbf{b} $:
P
Passo 5
Finalmente, juntamos tudo para escrever o sistema na forma matricial $ A\mathbf{P} = \mathbf{b} $: