Ajuste os dados tabelados pelo método dos mínimos quadrados, utilizando uma função hiperbólica
,
para os seguintes valores:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os dados da tabela usando o método dos mínimos quadrados com uma função hiperbólica da forma $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que melhor representam os pontos que temos na tabela. Para isso, vamos usar matemática básica de ajuste de curvas e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos. A tabela nos dá valores de $ x $ e $ f(x) $, que são:
Queremos ajustar esses pontos na função $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $.
Passo 3
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados $ f(x_i) $ e os valores previstos pela nossa função $ \frac{1}{a x_i + b} $. Ou seja, queremos minimizar:
Passo 4
Esse problema é um pouco complicado porque a função não é linear em $ a $ e $ b $. Então, vamos simplificar as coisas transformando a equação. Vamos inverter ambos os lados da função para facilitar:
Agora, temos uma relação linear entre $ \frac{1}{f(x)} $ e $ x $, onde $ a $ é o coeficiente de $ x $ e $ b $ é a constante.
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{1}{f(x)} $ para todos os pontos da tabela:
Passo 6
Agora, temos um sistema linear $ Y = a X + b $, onde $ Y = \frac{1}{f(x)} $ e $ X = x $. Podemos montar as equações normais para encontrar $ a $ e $ b $.
Primeiro, vamos calcular as somas necessárias:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, usamos as equações normais para encontrar $ a $ e $ b $:
Onde $ n = 8 $ (número de pontos).
Calculando $ a $:
Primeiro, calcula o numerador:
Agora, o denominador:
Então,
Passo 8
Agora, calculamos $ b $:
Calculando o termo no numerador:
Então,
Resposta
Os valores que ajustam os dados pelo método dos mínimos quadrados são aproximadamente $ a = 0.01793 $ e $ b = 0.1973 $. Portanto, a função ajustada fica: