Ajuste os dados tabelados pelo método dos mínimos quadrados, utilizando uma função hiperbólica f(x)=1a x+b,
c|c|c|c|c|c|c|c|c x & -8 & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & alpha & 4 hline f(x) & 30 & 10 & 9 & 6 & 5 & 4 & beta & 4
para os seguintes valores:
alpha=2.85 e beta=3.75

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os dados da tabela usando o método dos mínimos quadrados com uma função hiperbólica da forma $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que melhor representam os pontos que temos na tabela. Para isso, vamos usar matemática básica de ajuste de curvas e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos. A tabela nos dá valores de $ x $ e $ f(x) $, que são:
x
Queremos ajustar esses pontos na função $ f(x) = \frac{1}{a x + b} $.

Passo 3

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados $ f(x_i) $ e os valores previstos pela nossa função $ \frac{1}{a x_i + b} $. Ou seja, queremos minimizar:
f(xi)

Passo 4

Esse problema é um pouco complicado porque a função não é linear em $ a $ e $ b $. Então, vamos simplificar as coisas transformando a equação. Vamos inverter ambos os lados da função para facilitar:
a
Agora, temos uma relação linear entre $ \frac{1}{f(x)} $ e $ x $, onde $ a $ é o coeficiente de $ x $ e $ b $ é a constante.

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{1}{f(x)} $ para todos os pontos da tabela:
1f(x)

Passo 6

Agora, temos um sistema linear $ Y = a X + b $, onde $ Y = \frac{1}{f(x)} $ e $ X = x $. Podemos montar as equações normais para encontrar $ a $ e $ b $.
Primeiro, vamos calcular as somas necessárias:
Y = a X + b
Y = 1f(x)
X = x
a
Calculando cada termo:
b
sum X = (-8) + (-6) + (-4) + (-2) + 0 + 2 + 2.85 + 4 = -11.15
sum Y = 0.0333 + 0.1 + 0.1111 + 0.1667 + 0.2 + 0.25 + 0.2667 + 0.25 = 1.3778
sum X^2 = (-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + (2.85)^2 + 4^2 = 64 + 36 + 16 + 4 + 0 + 4 + 8.1225 + 16 = 148.1225
sum X Y = (-8)(0.0333) + (-6)(0.1) + (-4)(0.1111) + (-2)(0.1667) + 0(0.2) + 2(0.25) + 2.85(0.2667) + 4(0.25)
-8 times 0.0333 approx -0.2664
-6 times 0.1 = -0.6
-4 times 0.1111 approx -0.4444
Somando tudo:
-2 times 0.1667 approx -0.3334

Passo 7

Agora, usamos as equações normais para encontrar $ a $ e $ b $:
a
b
Onde $ n = 8 $ (número de pontos).
Calculando $ a $:
a = n sum XY - (sum X)(sum Y)n sum X^2 - (sum X)^2
Primeiro, calcula o numerador:
b = sum Y - a sum Xn
n = 8
a
Agora, o denominador:
a = 8 times 0.4577 - (-11.15) times 1.37788 times 148.1225 - (-11.15)^2
8 times 0.4577 = 3.6616
-11.15 times 1.3778 approx -15.3647
Então,
3.6616 - (-15.3647) = 19.0263

Passo 8

Agora, calculamos $ b $:
b
Calculando o termo no numerador:
b = 1.3778 - 0.01793 times (-11.15)8
0.01793 times (-11.15) approx -0.2007
Então,
1.3778 - (-0.2007) = 1.5785

Resposta

Os valores que ajustam os dados pelo método dos mínimos quadrados são aproximadamente $ a = 0.01793 $ e $ b = 0.1973 $. Portanto, a função ajustada fica:
a = 0.01793

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