Uma bola de bilhar, deslocando-se com velocidade de 3,0 m / s, atinge outra bola idêntica inicialmente em repouso num choque oblíquo. Após a colisão uma bola desloca-se com uma velocidade de 1,2 m / s numa direção que forma um ângulo de 60^circ com a direção e sentido originais do movimento. (a) Determine a velocidade da outra bola (módulo, direção e sentido). (b) Levando em conta os dados acima verifique se á possível uma colisão perfeitamente elástica.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma situação com duas bolas de bilhar. Uma está se movendo a e bate numa outra, que está parada. Depois da colisão, uma das bolas está se movendo a formando um ângulo de com a direção original. O que precisamos descobrir é:
a) Qual é a velocidade da outra bola após a colisão (tanto o valor, direção e sentido).
b) Se, com esses dados, é possível que a colisão tenha sido perfeitamente elástica.
Vamos utilizar conceitos de conservação da quantidade de movimento e energia cinética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar as direções das velocidades. Vamos considerar o sentido original da primeira bola como o eixo . Isso ajuda a separar os movimentos nas direções e .

Passo 3

Aplicamos a conservação da quantidade de movimento em ambas as direções. Como as bolas são idênticas, suas massas são iguais e vão se cancelar nas equações.
Na direção v1i = v1f cos(60^circ) + v2f cos(theta) :
0 = v1f sin(60^circ) - v2f sin(theta)
Onde:
  • (velocidade inicial da primeira bola)
  • (velocidade final da primeira bola)
  • é a velocidade final da segunda bola que queremos encontrar
  • é o ângulo da segunda bola com o eixo
Na direção :
Como a segunda bola estava inicialmente em repouso, não há componente inicial de .

Passo 4

Vamos resolver a equação da direção v2f sin(theta) = v1f sin(60^circ) para achar uma relação entre v2f = v1f sin(60^circ)sin(theta) e :

Passo 5

Agora, substituímos v1i = v1f cos(60^circ) + v1f sin(60^circ)sin(theta) cos(theta) na equação da direção 3,0 = 1,2 times 0,5 + 1,2 times sin(60^circ) cos(theta)sin(theta) :
3,0 = 0,6 + 1,2 times cot(theta) times sin(60^circ)
Simplificando:

Passo 6

Vamos isolar 3,0 - 0,6 = 1,2 times cot(theta) times raiz32 :
2,4 = 1,2 times cot(theta) times 0,866
cot(theta) = 2,41,2 times 0,866
cot(theta) approx 2,41,039
cot(theta) approx 2,31
theta = cot^-1(2,31) approx 23,6^circ
Então:

Passo 7

Agora que encontramos v2f = 1,2 times sin(60^circ)sin(23,6^circ) , voltamos para a relação de v2f = 1,2 times 0,8660,402 :
v2f approx 1,0390,402
v2f approx 2,58 , m/s

Resposta

a) A outra bola move-se a aproximadamente Ei = 12 m v1i^2 = 12 m (3,0)^2 = 4,5 m numa direção de Ef = 12 m v1f^2 + 12 m v2f^2 = 12 m (1,2)^2 + 12 m (2,58)^2 em relação à direção original e sentido oposto ao da primeira bola após a colisão.
b) Para verificar se a colisão é perfeitamente elástica, calculamos a energia cinética antes e depois:
Energia cinética inicial:
Ef = 12 m (1,44 + 6,66)
Energia cinética final:
Ef = 12 m (8,10) = 4,05 m
Como , a colisão não é perfeitamente elástica.

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