A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas formam os vértices. Quando a bola é cheia, as faces do poliedro se curvam e ele fica similar a uma esfera.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre a forma da bola de futebol moderna, que é um icosaedro truncado. Essa figura geométrica tem 32 faces, sendo 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares. A gente vai precisar entender como calcular o número de arestas (as linhas onde as faces se encontram) e vértices (os pontos onde as arestas se encontram). Para isso, vamos usar conceitos de geometria dos poliedros, especialmente a fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de arestas. Cada pentágono tem 5 lados e cada hexágono tem 6 lados. Se somarmos todos os lados das 32 faces, teremos:
- Pentágonos: 12 faces × 5 lados = 60 lados
- Hexágonos: 20 faces × 6 lados = 120 lados
Mas atenção: cada aresta é compartilhada por duas faces, então para não contar duas vezes, dividimos o total de lados por 2:
Então, a bola tem 90 arestas.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o número de vértices usando a fórmula de Euler para poliedros, que é:
Onde:
- $ V $ é o número de vértices
- $ E $ é o número de arestas
- $ F $ é o número de faces
Já sabemos que $ E = 90 $ e $ F = 32 $. Substituindo na fórmula:
Então, a bola tem 60 vértices.
Resposta
A bola de futebol descrita possui 90 arestas e 60 vértices.