Uma bola uniforme de raio
rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de contato entre a bola c os trilhos seja igual a
, a) Faca um desenho e mostre que em qualquer instante
. Discuta essa expressão nos limites
. b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical I enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa, temos,
. Trocando a rampa pelos dois trilhos, mostre que
Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) ê a menor? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial é dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinnética da rotação. d) Para qual valor da razão
as expressōes das duas velocidades da parte (b) diferem de 5,0 &? E quando diferem de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma bola uniformemente distribuída com raio
que rola sem deslizar entre dois trilhos. A distância horizontal entre os pontos onde a bola toca os trilhos é
. A matéria que estamos usando aqui é a Cinemática Rotacional e a Relação entre velocidade linear e angular. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a velocidade do centro de massa da bola (
) com sua velocidade angular (
) e o raio da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a bola tocando os dois trilhos em dois pontos diferentes, separados horizontalmente por
. Como a bola está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro e a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que, para rolar sem deslizar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela fórmula:
onde
é o raio efetivo. Nesse caso, o raio efetivo não é apenas
, porque a distância entre os pontos de contato com os trilhos afeta essa relação.
Passo 4
Visualizando o triângulo formado pelo raio
, a distância
, e a altura efetiva, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar esses valores. O raio efetivo
será:
Portanto, a relação entre
e
fica:
Passo 5
Agora, vamos discutir essa expressão nos limites dados: quando
e quando
.
- Para
:
Isso faz sentido porque quando
, a bola está rolando diretamente sobre um trilho central, e a relação padrão
se aplica.
- Para
:
Isso indica que, quando
, a velocidade do centro de massa é zero, ou seja, a bola não está se movendo. Isso ocorre porque a distância
atinge o máximo possível, impedindo a rotação efetiva da bola.
Resposta
Portanto, mostramos que em qualquer instante
. Nos limites, quando
, a relação se reduz a
, e quando
, a velocidade do centro de massa é zero.
Exercícios relacionados
Suponha que, no exato instante em que o carro alcança o caminhão, ambos freiem com a mesma aceleração, de módulo
, até pararem e assim permanecerem. Qual será a distância entre os veículos quando ambos estiverem em repouso?
Dê uma interpretação molecular da interaçăo
2.5 Dê uma inte
hidrofóbica.
2.5 Dê uma inte
hidrofóbica.
Use a definição de limite para calcular
.
Um disco de hóquei de
desliza
no gelo antes de parar. (a) Se a sua velocidade inicial era de
, qual a força de atrito entre o disco e o gelo? (b) Qual o coeficiente de atrito cinético?
Resp.: (a) ; (b) 0,12 .
Resp.: (a)