Uma bola uniforme de raio R rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de contato entre a bola c os trilhos seja igual a d, a) Faca um desenho e mostre que em qualquer instante vcm=omega raizR^2-d^2 / 4. Discuta essa expressão nos limites d=0 e d=2 R. b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical I enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa, temos, vcm=raiz10 g / / 7. Trocando a rampa pelos dois trilhos, mostre que
vcom=raiz10 g h5+2 /(1-d^2 / 4 R^2)
Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) ê a menor? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial é dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinnética da rotação. d) Para qual valor da razão d / R as expressōes das duas velocidades da parte (b) diferem de 5,0 &? E quando diferem de 0,50 % ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma bola uniformemente distribuída com raio que rola sem deslizar entre dois trilhos. A distância horizontal entre os pontos onde a bola toca os trilhos é . A matéria que estamos usando aqui é a Cinemática Rotacional e a Relação entre velocidade linear e angular. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a velocidade do centro de massa da bola ( ) com sua velocidade angular ( ) e o raio da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a bola tocando os dois trilhos em dois pontos diferentes, separados horizontalmente por . Como a bola está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro e a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que, para rolar sem deslizar, a velocidade linear vcm = omega cdot r está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
onde é o raio efetivo. Nesse caso, o raio efetivo não é apenas , porque a distância entre os pontos de contato com os trilhos afeta essa relação.

Passo 4

Visualizando o triângulo formado pelo raio refetivo = raizR^2 - (d2)^2 = raizR^2 - d^24 , a distância vcm = omega cdot raizR^2 - d^24 , e a altura efetiva, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar esses valores. O raio efetivo será:
Portanto, a relação entre e fica:

Passo 5

Agora, vamos discutir essa expressão nos limites dados: quando vcm = omega cdot raizR^2 - 0 = omega R e quando vcm = omega cdot raizR^2 - (2R)^24 = omega cdot raizR^2 - R^2 = omega cdot 0 = 0 .
  • Para :
Isso faz sentido porque quando , a bola está rolando diretamente sobre um trilho central, e a relação padrão se aplica.
  • Para :
Isso indica que, quando , a velocidade do centro de massa é zero, ou seja, a bola não está se movendo. Isso ocorre porque a distância atinge o máximo possível, impedindo a rotação efetiva da bola.

Resposta

Portanto, mostramos que em qualquer instante . Nos limites, quando , a relação se reduz a , e quando , a velocidade do centro de massa é zero.

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