Uma bola uniforme de raio rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de contato entre a bola c os trilhos seja igual a , a) Faca um desenho e mostre que em qualquer instante . Discuta essa expressão nos limites . b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical I enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa, temos, . Trocando a rampa pelos dois trilhos, mostre que
Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) ê a menor? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial é dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinnética da rotação. d) Para qual valor da razão as expressōes das duas velocidades da parte (b) diferem de 5,0 &? E quando diferem de ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma bola uniformemente distribuída com raio que rola sem deslizar entre dois trilhos. A distância horizontal entre os pontos onde a bola toca os trilhos é . A matéria que estamos usando aqui é a Cinemática Rotacional e a Relação entre velocidade linear e angular. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a velocidade do centro de massa da bola ( ) com sua velocidade angular ( ) e o raio da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a bola tocando os dois trilhos em dois pontos diferentes, separados horizontalmente por . Como a bola está rolando sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro e a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que, para rolar sem deslizar, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
onde é o raio efetivo. Nesse caso, o raio efetivo não é apenas , porque a distância entre os pontos de contato com os trilhos afeta essa relação.

Passo 4

Visualizando o triângulo formado pelo raio , a distância , e a altura efetiva, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar esses valores. O raio efetivo será:
Portanto, a relação entre e fica:

Passo 5

Agora, vamos discutir essa expressão nos limites dados: quando e quando .
  • Para :
Isso faz sentido porque quando , a bola está rolando diretamente sobre um trilho central, e a relação padrão se aplica.
  • Para :
Isso indica que, quando , a velocidade do centro de massa é zero, ou seja, a bola não está se movendo. Isso ocorre porque a distância atinge o máximo possível, impedindo a rotação efetiva da bola.

Resposta

Portanto, mostramos que em qualquer instante . Nos limites, quando , a relação se reduz a , e quando , a velocidade do centro de massa é zero.

Exercícios relacionados

Suponha que, no exato instante em que o carro alcança o caminhão, ambos freiem com a mesma aceleração, de módulo , até pararem e assim permanecerem. Qual será a distância entre os veículos quando ambos estiverem em repouso?
Dê uma interpretação molecular da interaçăo
2.5 Dê uma inte
hidrofóbica.
Use a definição de limite para calcular .
Um disco de hóquei de desliza no gelo antes de parar. (a) Se a sua velocidade inicial era de , qual a força de atrito entre o disco e o gelo? (b) Qual o coeficiente de atrito cinético?
Resp.: (a) ; (b) 0,12 .