Uma bolinha de gude sólida de massa
e raio
rola sem deslizar sobre um trilho, ao final do qual há um loop de raio R , tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do trilho, de altura
.
b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a
acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto
de altura
, no loop?
b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bolinha de gude que rola sem deslizar por um trilho que termina em um loop. A massa da bolinha é $ m $ e o raio do loop é $ R $. Ela começa a rolar de uma altura $ h = 6R $ e queremos saber qual é a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto $ P $ onde a altura é $ h’ = R $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, movimento rotacional e leis de Newton. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a bolinha tem no início e no ponto $ P $. No começo, ela está parada numa altura $ h = 6R $, então toda a sua energia é potencial gravitacional. A fórmula para essa energia é:
Onde:
- $ m $ é a massa da bolinha,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura (neste caso, $ 6R $).
Então, inicialmente, a energia potencial é $ E_{inicial} = mg \times 6R = 6mgR $.
Passo 3
À medida que a bolinha desce e passa pelo ponto $ P $ na altura $ h’ = R $, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética. Como a bolinha rola sem deslizar, ela tem tanto energia cinética translacional (devido ao movimento linear) quanto energia cinética rotacional (devido à rotação).
A energia cinética total é dada por:
Para uma bolinha sólida, o momento de inércia $ I $ é:
E, como ela rola sem deslizar, a velocidade angular $ \omega $ está relacionada com a velocidade linear $ v $ por:
Substituindo $ I $ e $ \omega $ na expressão da energia cinética:
Passo 4
No ponto $ P $, a altura da bolinha é $ h’ = R $, então a energia potencial restante é:
Como a energia mecânica é conservada (ainda ignorando resistências como atrito), a energia inicial iguala a energia potencial no ponto $ P $ mais a energia cinética no ponto $ P $:
Vamos resolver para $ v^2 $:
Passo 5
Agora que temos $ v^2 $, vamos encontrar a componente horizontal da força que atua sobre a bolinha no ponto $ P $.
No ponto $ P $, a bolinha está fazendo uma curva no loop, o que requer uma força centrípeta para manter o movimento circular. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
Substituindo $ v^2 $:
Essa força centrípeta vem da componente horizontal da força normal que o trilho exerce sobre a bolinha.
Resposta
A componente horizontal da força que atua sobre a bolinha no ponto $ P $ é $ \frac{50}{7}mg $.