Duas partículas de massa m cada uma, estão ligadas entre si e a um eixo de rotação em O, por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um, conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular omega.
a) Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto em relação a O.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, temos duas partículas de massa m cada uma, ligadas a um eixo de rotação O por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada. O sistema todo está girando com uma velocidade angular omega. Nosso objetivo aqui é encontrar, de forma algebráica, o momento de inércia desse conjunto em relação ao ponto O. Para isso, vamos usar as fórmulas de momento de inércia para partículas e para bastões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Vamos começar calculando o momento de inércia de cada bastão em relação ao eixo O. Para um bastão delgado de comprimento L e massa M girando em torno de uma de suas extremidades, a fórmula é:
Ibastão = 13 M L^2 ã

Passo 3

Como temos dois bastões, o momento de inércia total das hastes será duas vezes o momento de inércia de um bastão:
Ihastes = 2 times 13 M L^2 = 23 M L^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia das duas partículas de massa m. Cada partícula está localizada na extremidade dos bastões, ou seja, a uma distância L do eixo O. A fórmula para o momento de inércia de uma partícula é:
Ipartícula = m r^2 í
onde r é a distância ao eixo. No nosso caso, r = L.

Passo 5

Como temos duas partículas, o momento de inércia total delas será duas vezes o momento de uma partícula:
Ipartículas = 2 times m L^2 = 2 m L^2 í

Passo 6

Para encontrar o momento de inércia total do conjunto, somamos o momento de inércia das hastes e das partículas:
Itotal = Ihastes + Ipartículas = 23 M L^2 + 2 m L^2 í

Resposta

O momento de inércia do conjunto em relação a O é:
I = 23 M L^2 + 2 m L^2

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