Duas partículas de massa
cada uma, estão ligadas entre si e a um eixo de rotação em
, por dois bastões delgados de comprimento
e massa
cada um, conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular
.
a) Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto em relação a O.
a) Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto em relação a O.
Passo 1
Beleza, vamos lá! No enunciado, temos duas partículas de massa
cada uma, ligadas a um eixo de rotação
por dois bastões delgados de comprimento
e massa
cada. O sistema todo está girando com uma velocidade angular
. Nosso objetivo aqui é encontrar, de forma algebráica, o momento de inércia desse conjunto em relação ao ponto
. Para isso, vamos usar as fórmulas de momento de inércia para partículas e para bastões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Vamos começar calculando o momento de inércia de cada bastão em relação ao eixo
. Para um bastão delgado de comprimento
e massa
girando em torno de uma de suas extremidades, a fórmula é:
Passo 3
Como temos dois bastões, o momento de inércia total das hastes será duas vezes o momento de inércia de um bastão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia das duas partículas de massa
. Cada partícula está localizada na extremidade dos bastões, ou seja, a uma distância
do eixo
. A fórmula para o momento de inércia de uma partícula é:
onde
é a distância ao eixo. No nosso caso,
.
Passo 5
Como temos duas partículas, o momento de inércia total delas será duas vezes o momento de uma partícula:
Passo 6
Para encontrar o momento de inércia total do conjunto, somamos o momento de inércia das hastes e das partículas:
Resposta
O momento de inércia do conjunto em relação a
é: