Um bastão fino de comprimento L e massa m está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular theta, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular omega. Sabendo que theta(t) é dado por:
theta(t)=a t^3+b t^2+c t+d, onde a, b, c e d são constantes, ã
c) o torque qua atua sobre a haste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o torque que atua sobre uma haste que está oscilando como um pêndulo. A gente tem uma haste de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está sendo puxada para um ângulo $ \theta(t) $ descrito pela função:
L
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular. Precisamos calcular a aceleração angular a partir da função $ \theta(t) $ e então determinar o torque usando o momento de inércia da haste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ($ \tau tau áé I I çã \alpha $) pela equação:
alpha
Então, precisamos encontrar $ I $ e $ \alpha $.

Passo 3

O momento de inércia para uma haste fina pivotada em uma de suas extremidades é dado por:
I = 13 m L^2
Esse valor leva em conta que a massa está distribuída ao longo do comprimento da haste.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração angular $ \alpha $. Sabemos que:
alpha
Então, precisamos derivar $ \theta(t) $ duas vezes em relação ao tempo.
Primeira derivada de $ \theta(t) $:
alpha = d^2thetadt^2
Segunda derivada de $ \theta(t) $:
theta(t)
Portanto, a aceleração angular é:
theta(t)

Passo 5

Agora que temos $ I $ e $ \alpha $, podemos substituir na equação do torque:
I
Simplificando a expressão:
alpha
tau = 13 m L^2 cdot (6a t + 2b)

Resposta

O torque que atua sobre a haste é dado por:
tau = 2 m L^2 a t + 23 m L^2 b

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