Um bastão fino de comprimento
e massa
está suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente até uma posição angular
, para oscilar como um pêndulo, passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular
. Sabendo que
é dado por:
c) o torque qua atua sobre a haste.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o torque que atua sobre uma haste que está oscilando como um pêndulo. A gente tem uma haste de comprimento $ L $ e massa $ m $ que está sendo puxada para um ângulo $ \theta(t) $ descrito pela função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular. Precisamos calcular a aceleração angular a partir da função $ \theta(t) $ e então determinar o torque usando o momento de inércia da haste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque ($ \tau
I
\alpha $) pela equação:
Então, precisamos encontrar $ I $ e $ \alpha $.
Passo 3
O momento de inércia para uma haste fina pivotada em uma de suas extremidades é dado por:
Esse valor leva em conta que a massa está distribuída ao longo do comprimento da haste.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração angular $ \alpha $. Sabemos que:
Então, precisamos derivar $ \theta(t) $ duas vezes em relação ao tempo.
Primeira derivada de $ \theta(t) $:
Segunda derivada de $ \theta(t) $:
Portanto, a aceleração angular é:
Passo 5
Agora que temos $ I $ e $ \alpha $, podemos substituir na equação do torque:
Simplificando a expressão:
Resposta
O torque que atua sobre a haste é dado por: