Um bom condutor tem uma forma plana, e por ele se propaga uma onda plana uniforme que possui comprimento de onda de 0,3 mm e velocidade de 3 times 10^5 m / s. Considerando um condutor não magnético, determine a frequência e a condutividade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um condutor plano por onde passa uma onda plana uniforme. Essa onda tem um comprimento de onda de e uma velocidade de . O que precisamos descobrir são a frequência da onda e a condutividade do material do condutor. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas em materiais condutores e algumas fórmulas básicas de física.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência da onda. A relação entre velocidade ( v = lambda times f ), comprimento de onda ( f = vlambda ) e frequência ( v = 3 times 10^5 , m/s ) é dada por:
lambda = 0,3 , mm = 0,3 times 10^-3 , m
Queremos isolar f = 3 times 10^5 , m/s0,3 times 10^-3 , m = 3 times 10^50,3 times 10^-3 = 1 times 10^9 , Hz , então rearrumamos a fórmula:
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Então:
Portanto, a frequência é de 1 GHz.

Passo 3

Agora, vamos determinar a condutividade ( v = 1raizmu0 epsilon0 times 1raiz1 + (sigmaomega epsilon0)^2 ) do material. Para isso, precisamos entender como a velocidade da onda está relacionada à condutividade em um condutor não magnético.
A velocidade de propagação da onda em um condutor é influenciada pela permissão elétrica ( omega = 2pi f = 2pi times 1 times 10^9 , Hz approx 6,28 times 10^9 , rad/s ) e pela condutividade ( v = 1raizmu0 epsilon0 times 1raiz1 + (sigmaomega epsilon0)^2 Rightarrow raiz1 + (sigmaomega epsilon0)^2 = 1v raizmu0 epsilon0 Rightarrow 1 + (sigmaomega epsilon0)^2 = (1v raizmu0 epsilon0)^2 Rightarrow (sigmaomega epsilon0)^2 = (1v raizmu0 epsilon0)^2 - 1 Rightarrow sigma = omega epsilon0 raiz(1v raizmu0 epsilon0)^2 - 1 ). A relação entre essas grandezas é dada por:
mu0 epsilon0 = 4pi times 10^-7 times 8,85 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-17 raizmu0 epsilon0 approx 3,333 times 10^-9 , s/m
Onde:
  • 1v raizmu0 epsilon0 = 13 times 10^5 times 3,333 times 10^-9 approx 11 times 10^-3 = 1000 é a permeabilidade do vácuo ( (1v raizmu0 epsilon0)^2 - 1 = 1000^2 - 1 = 1 times 10^6 - 1 approx 1 times 10^6 ),
  • sigma = 6,28 times 10^9 times 8,85 times 10^-12 times raiz1 times 10^6 sigma = 6,28 times 10^9 times 8,85 times 10^-12 times 1000 sigma = 6,28 times 8,85 times 10^9 -12 +3 sigma = 55,578 times 10^0 sigma approx 55,58 , S/m é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a frequência angular.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, rearranjamos a equação para encontrar :
Vamos calcular os valores dentro da raiz:
Agora:
Então:
Agora, calculamos :

Resposta

A frequência da onda é de 1 GHz e a condutividade do condutor é de aproximadamente 55,58 S/m.

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