Uma bomba de vácuo permite uma rarefação de até p=4 times 10^-15 atm (a temperatura ambiente). Estime o número de moléculas de um dado gás em 1 cm^3 e também a distância média entre elas na pressão acima mencionada.

Passo 1

Então, a gente tem uma bomba de vácuo que consegue reduzir a pressão até p = 4 times 10^-15 atm a temperatura ambiente. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas moléculas de gás existem em um volume de 1 cm^3 nessa pressão e também qual é a distância média entre essas moléculas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física dos gases, especialmente a lei dos gases ideais e a relação entre pressão, volume, temperatura e quantidade de moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = NkBT
onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • N é o número de moléculas,
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1.38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para encontrar o número de moléculas N:
N = PVkBT

Passo 4

Precisamos agora converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A pressão está em atm, então vamos converter para Pascals (Pa):
1 , atm = 1.013 times 10^5 , Pa
Portanto:
P = 4 times 10^-15 , atm = 4 times 10^-15 times 1.013 times 10^5 , Pa = 4.052 times 10^-10 , Pa

Passo 5

O volume V está em centímetros cúbicos, vamos converter para metros cúbicos:
1 , cm^3 = 1 times 10^-6 , m^3

Passo 6

A temperatura ambiente geralmente é considerada como T = 300 , K.

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na equação para encontrar N:
N = (4.052 times 10^-10 , Pa) times (1 times 10^-6 , m^3)(1.38 times 10^-23 , J/K) times 300 , K
N = 4.052 times 10^-164.14 times 10^-21 approx 9.78 times 10^4

Passo 8

Agora, para encontrar a distância média entre as moléculas, vamos considerar que as moléculas estão distribuídas uniformemente no espaço. Podemos imaginar que cada molécula ocupa um volume Vmol dado por:
Vmol = VN
E a distância média d entre elas será aproximadamente a raiz cúbica desse volume:
d = raiz[3]Vmol = raiz[3]VN

Passo 9

Substituindo os valores:
d = raiz[3]1 times 10^-6 , m^39.78 times 10^4 approx raiz[3]1.022 times 10^-11 approx 2.16 times 10^-4 , m = 0.216 , mm

Resposta

Em um volume de 1 cm^3 na pressão de 4 times 10^-15 atm, há aproximadamente 9.78 times 10^4 moléculas de gás, e a distância média entre elas é de cerca de 0.216 , mm.

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