Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui temos a série
e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo que estamos tratando aqui é de séries, e mais especificamente, séries numéricas. Para resolver, vamos aplicar o teste da Série de Raabe ou o teste da comparação (ou talvez outro método que seja mais adequado).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada. A série tem a forma
. Para determinar a convergência, podemos usar o critério da comparação. A ideia aqui é comparar a nossa série com uma série que sabemos se converge ou não. Um bom candidato para comparar é a série
, que sabemos que é uma série geométrica com razão
, então ela converge.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série geométrica que mencionamos. Note que, para valores grandes de
, o termo
cresce, mas
cresce ainda mais rápido. Para fazer isso mais formalmente, podemos simplificar assim:
Se olharmos para o termo
, podemos ver que, eventualmente, podemos dizer que:
para algum número constante
, quando
for suficientemente grande. Isso significa que os termos da nossa série estão sendo “dominado” por
vezes os termos da série geométrica que já sabemos que converge.
Passo 4
Por fim, se
converge e
é menor do que uma constante vezes
, então pela comparação, a série original
também converge. Como chegamos em uma série convergente e não temos termos negativos, podemos afirmar que a nossa série é absolutamente convergente.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.