Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui temos a série sumn=1^infty n^22^n e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo que estamos tratando aqui é de séries, e mais especificamente, séries numéricas. Para resolver, vamos aplicar o teste da Série de Raabe ou o teste da comparação (ou talvez outro método que seja mais adequado).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada. A série tem a forma n^22^n. Para determinar a convergência, podemos usar o critério da comparação. A ideia aqui é comparar a nossa série com uma série que sabemos se converge ou não. Um bom candidato para comparar é a série sumn=1^infty 12^n, que sabemos que é uma série geométrica com razão r = 12 < 1, então ela converge.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série geométrica que mencionamos. Note que, para valores grandes de n, o termo n^2 cresce, mas 2^n cresce ainda mais rápido. Para fazer isso mais formalmente, podemos simplificar assim:
Se olharmos para o termo n^22^n, podemos ver que, eventualmente, podemos dizer que:
n^22^n < C2^n
para algum número constante C, quando n for suficientemente grande. Isso significa que os termos da nossa série estão sendo “dominado” por C vezes os termos da série geométrica que já sabemos que converge.

Passo 4

Por fim, se sumn=1^infty 12^n converge e n^22^n é menor do que uma constante vezes 12^n, então pela comparação, a série original sumn=1^infty n^22^n também converge. Como chegamos em uma série convergente e não temos termos negativos, podemos afirmar que a nossa série é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^22^n é absolutamente convergente.

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